Stochastic Growth Model

In this assignment you will analyze the stochastic growth model (which is a real business cycle (RBC) model without endogenous labor supply).  In particular, let’s assume that production technology takes the Cobb-Douglas form:

F(z t;kt; lt ) = z tkt(α)lt1-α

where 0 < α < 1. kt  is the capital stock at time t and z t  is a technology shock to the economy. Without loss of generality we assume that lt  = 1.  log(z t) follows an AR(1) process log(z t) = ρ log(zt - 1 ) + εt , εt      N(0; σ2 ). Economy’s resource constraint is given by:

ct +it  = F(z t;kt; 1) = f (z t;kt ):

The capital stock of the economy evolves according to

kt +1 = (1 - δ )kt +it :

Let the preference of the representative household be

E0β t log(ct ):

Let’s set β = 0:987, α = 0:40, δ = 0:012, ρ = 0:95 and σ = 0:007.

1.  [5 points] Write down the Bellman equation for social planner’s problem and derive the Euler equa- tion. In this economy are social planner’s allocations same with competitive (decentralized market) equilibrium allocations (i.e., are competitive (decentralized market) equilibrium allocations pareto optimal?)? Why or why not?

2.  [5 points] Solve for the deterministic steady state value of capital,i.e., capital’s steady state level in the deterministic neo-classical model when z t  = 1 At . 

3.  [50 points] I provide you the Markov process that approximates zt with 11 states (i.e., Z = fz1 ; z2 ; : : : ; z11g).1 Using the Markov process and the parameter values above, solve the value function, V(z; k) by em-

ploying value function iteration method and obtain optimal decision rules, g k(z; k) (policy function for next period’s capital), gc(z; k) (policy function for consumption), etc.2  For each ziplot V(zi ; k)

along the k dimension on the same figure.  Namely, the x-axis on your graph will bek and the y-axis will be the value function.  There will be  11 lines, one for each zi  on your figure.3    Plot another figure for policy function of capital, g k(z; k) in the same manner.

4.  [10 points] Bonus Question: For δ = 1 we may have an analytical solution. Guess and verify that

the value function takes the following form when δ = 1:4

V(z; k) = A+ Blogk +Clog(z):

5.  [10 points] In the previous question the analytical solution should bek( = g k(z; k) = aβ zka . Com- pare the accuracy of your numerical solution with the above analytical solution when δ = 1. Namely, solve the model numerically by setting δ = 1 (using value function iteration method) and obtain the policy function for next period’s capital and then compare this policy function with k( = g k(z; k) = aβ zka by plotting these two together on the same figure.

6.  [10 points] You now show how a shock to the current capital stock affect the optimal choices of consumption (ct ), investment (It), capital (kt +1),and output (yt) by plotting the impulse response functions.  For this purpose, suppose the economy is at its deterministic steady state and all of a sudden the current capital stock increases by 1% in period 0.  In particular, you’ll assume that k — 1 = k* , z — 1 = 1 and at time t = 0 there is a 1% shock to capital, k0 = 1:01k* , z0 = 1. Then you’ll find kt +1 = g(kt;zt) for t = 0; 1; 2::::5 Once you have the series offkt +1gAt, it is easy to findfytgAt , fct gAt, and fIt gAt .

7.  [20 points] In this part, you are required to compute the amplitude of fluctuations (volatility mea- sured by standard deviation) in aggregate variables and their correlation with aggregate output. For this purpose, let δ = 0:012 and simulate the economy for a long period of time.   starting from some initial level of z0  and k0  (probably steady  state value).  Namely, once you have the policy functions you can easily simulate the model.  Start with an initial condition for the capi- tal stock, say the deterministic steady state level (k0=k* ), and with an initial condition for z; say z0  = 1.  Then draw a sequence of technology shocks {zt400  using the Markov transition ma- trix for 400 periods.  Use the policy functions, g k(z; k) and gc(z; k) to determine the time series {kt +1 ; ct