IMPORTANT DISCLAIMER: The homework is not graded. The points are only to give you information about the weight assigned to each questions.

The first assignment deadline is on Friday 15th of September 2023. It covers the material related to the first week of class.  1) You are encouraged to discuss the problems with others, but 2) you must write up your own results. Do not copy someone else’s answer.

This question will cover statistical inference, the relationship between a population parameter and the sample average.

Suppose you flip a coin and you are interested in the probability of getting a head.  Assuming the coin is not rigged, the random variable X defined as 1 if it is a head and 0 if it is a tail is described by a Bernoulli distribution which takes the value 1 (head) with the probability p = 0.5.

Question [100 points]

This question will cover statistical inference, the relationship between a population parameter and the sample average.

Suppose you flip a coin and you are interested in the probability of getting a head.  Assuming the coin is not rigged, the random variable X defined as 1 if it is a head and 0 if it is a tail is described by a Bernoulli distribution which takes the value 1 (head) with the probability p = 0.5.

1.  [5 points] What is the probability of getting a tail?  What is the expected value (= population mean) of the random variable X? What about the population variance? Write down the formula first and then calculate the value.

2.  [5 points] Generate a sample of N = 10 observations by randomly drawing  10 times from the coin

experiment, {X1 , X2 , . . . , XN }, in R.

then give the estimate. How does the sample average differ from the population average?

5.  [10 points] Generate another sample of size N = 10 and repeat 3 and 4.  Do you observe a difference in the histogram, the sample average, and the sample variance in this new sample with the sample generated in 2? Explain.

6.  [10 points] Generate  100 samples of size N = 10 and for each sample calculate the sample average.

Then plot histogram/distribution of the sample averages.

7.  [10 points] What is the standard deviation of the sample averages?  What about the average value of the sample averages?

8.  [10 points] Write down the formulas for the standard deviation as well as the mean of the sample average?

9.  [15 points] Repeat 6, 7 and 8 but with a sample of size N = 100.

10.  [10 points] How does the distribution (look at the histogram), the standard deviation, and the mean value of the sample averages differ when we increase the sample size from N = 10 to N = 100? How do the values compare to the values when you are using formulas derived in 8? Explain your results and the lesson learned (Hint: The sampling distribution changes with the sample size.)