1.  Consider the experiment where we roll two fair six-sided dice and define the random variable X to equal the average of the two rolls (i.e., the sum of the rolls divided by 2).

(a) Write out the support of X as a set.

(b) Is X a discrete or continuous random variable? How do you know?

(c) Imagine the two dice are labeled “die 1” and “die 2” and let the random variables X1 and X2  equal the individual rolls on die 1 and die 2, respectively.  Write X as a function of X1  and X2 .

(d)  Calculate E[X]  (Pro  tip:   you  can  save  a  lot  of  time  if you  first  calculate  E[X1]  and E[X2] and then apply the properties  of expectation.)

(e) Why is it fair to call E[X] “an average of an average?”

2. Let Y be a random variable with support S = {1, 5, 7}.  For each function below, explain whether it could potentially be a valid PDF for Y.

(a)

(b)

(c)

3.  Consider a discrete random variable X with support S = {−3, −1, 0, 2, 3, 4, 8} and let f(k) and F(k) denote its PDF and CDF, respectively.  Show how to write each of the following probabilities in two different ways: once using only f(k) and again using only F(k).

(a)  P(X = 0)

(b)  P(X ≥ 3)

(c)  P(X > 2)

(d)  P(X < −1)

(e)  P(1 ≤ X ≤ 4)

(f)  P(−2  < X < 2)

4.  Suppose you own a unconventional six-sided die.  When you roll it, all of the even numbers (2,4,6) are equally likely to be rolled, and the same holds separately for the odd numbers (1,3,5), but the probability of rolling an even number is twice as big as the probability of rolling an odd number.  Let the random variable X denote the outcome of a roll of this die. Calculate E[X].

5. A common rookie statistics mistake is to confuse E[X2] with E[X]2 .  The first is the expec- tation of the random variable X2, while the second is the square of E[X].  Suppose you flip a fair coin and define the random variable X such that X = 1 if the coin lands on heads and X = −1 if on tails.  Calculate both E[X2] and E[X]2 .

6.  Four cards are placed face down on a table.   You  are told that two are red and two are black, and you need to guess which two are red and which two are black.  You do this by pointing to the two cards you’re guessing are red (notice: when you do that, you’re implicitly guessing that the other two are black, so you’re making four total guesses). Assume that all configurations are equally likely.

(a) Let the random variable X denote your number of correct guesses.  Derive and write out the PDF of X .

(b)  Graph the PDF of X .

(c)  Derive and clearly write the CDF of X .

(d)  Graph the CDF of X .

(e)  Calculate E[X].

(f)  Calculate Var[X].