Question 1 [25 Marks]

Question 1 appears in Part 1 of Assignment 2, which you can download separately from the MAST30001 webpage.

Question 2 [8 Marks]

The  Yule-Furry  process  is  a  pure  birth  continuous-time  Markov  chain  on  the  state  space {1, 2, . . .} with generator

where λ is a positive constant known as the splitting rate.

(a) For n ∈ {1, 2, . . .} and t ∈ R+, let Pn(t) be the probability that a Yule-Furry process with splitting rate λ is in state n at time t, given that it starts in state 1.  Write down the Kolmogorov Forward Differential Equations for Pn(t).

(b) Use mathematical induction to show that the solution to these equations is

Pn(t) = e−λt  (1 − e−λt )n−1 .

Question 3 [8 Marks]

Consider an M/M/m/m queue, that is a queue with Poisson arrivals with rate λ, exponentially- distributed service times with rate µ, m servers and no waiting room.  Such a queue is known as an Erlang Loss System after the founder of queueing theory A.K. Erlang.  In a 1917 paper, he used such a queueing system to model a traditional telephone exchange with m circuits.

(a) Write down the generator for a CTMC model for the number Xt  of customers this queue.

(b)  Derive the stationary distribution of Xt.  (NB. You will not be able to simplify the ex- pression for π0  beyond a finite sum).

(c) Hence write down an expression for the probability B that the system is full.  B is known as the  blocking  probability because it is the probability that a customer who wishes to make a call will not gain access to the exchange.

(d) What is the expected time D that a customer who gains access to the queue spends in the system?

(e)  (A question that requires a bit of intuition.)  Let NA(t) be the number of customers that are admitted to the system during [0,t].  The process NA(t) is not a Poisson process.  In fact, it is not even a renewal process because the distribution of time until the next cus- tomer is admitted depends on how many customers were there when the current customer arrived.

However the long-term rate γ = limt→∞ NA(t)/t does exist with probability 1.  Conjecture a value for γ .

(f) Use your answers from parts (d) and (e) and Little’s Formula to derive an expression for the mean number in the system.

Question 4 [9 Marks]

Thinking again about the M/M/m/m queue from Question 3, we turn our attention to the process NB(t) of blocked calls.  A customer is blocked when there are m customers in the queue and  a  further  customer  tries  to  gain  access.   We  can  model  this  situation by introducing a

modified CTMC X(-)(t) with an extra state (m,⋆) to indicate that a customer has arrived when

the state is m.  The transition rate from state m to state (m,⋆) is λ, while the transition rate from state  (m,⋆) to state m − 1 is mµ, indicating a service has occurred when the state is (m,⋆).  When the state is (m,⋆), it is possible that further customers arrive and are blocked. This occurs in a Poisson process at rate λ .

(a)  Observing that the time τ until the next customer is blocked is the time until either

❼ a-Poisson arrival occurs while the state of X(-)(t) is still (m,⋆), or

❼ X(t) leaves state (m,⋆) (necessarily to state m − 1), and then returns to (m,⋆),

use the Markov property to explain why NB(t) is a renewal process.