. This is an exam and you should not work jointly with other students and your submission should be your own independent work.

. You are expected to take between 3 to 4 hours to research/prepare your answer and 1 hour to draft it but this will not be monitored - the one hour is for guidance on the time you will have for degree exam questions.

. All discussion must be typed and there is a 1500 word limit.  This will be put through the turnitin software.

. Any calculations should be done separately and this will not be included in the word count. These can be handwritten if you prefer and if they are typed it should be on separate pages from the discussion.  In particular, the working out of the cycle and payoffs in part a), the expected payoffs in part c), and the calculations in parts dii) and diii).

. For any papers that you cite, you should give full references on a separate page and this will not be included in the word count.

. We don’t assign so many marks for each part but give a mark as a whole.  To help you understand how this is done you should look at the marking guide for last year’s paper. This also means that there is not a fixed number of words to divide between the parts but as a guide, you should keep your answers to a,b and d concise and your letter for part c short so that you have more words available for parts e and f.

. Please note that the University extensions policy and adjustments on coursework do not apply to this take home exam.  To be clear, there are no circumstances under which an extension can be given and cases where students are unable to complete the exam for any reason will be dealt with as with a sit in exam through the special circumstances process.

. You must submit your exam as one document, multiple files are not permitted.   Only  1 submission  is permitted and all  submissions are final, so please ensure you submit the correct document.

Eve and Adam are in an eternal relationship which can be characterised by playing the following Prisoner’s Dilemma game every period,

We will assume that they are restricted to one of the six repeated game strategies, 1.   Always Faithful,  2.   Grim  Trigger,  3.   Tit-for-Tat,  4.   Tat-for-Tit,  5.   Humpty and 6.  Dumpty which are illustrated in attachment  1.  The notation is explained at the beginning of lecture 4 but briefly, the circle represents the state they are in and the letter in the circle gives the strategy that they play in this state, faithful, f, OT cheat,c. The arrow tells us the state that they move to in the next period in response to the current play of the other player.  For example, with Grim Trigger we begin in state f  (the arrow on the left indicates the starting state) and if the opponent also plays f then following the arrow labelled f, we remain in this state.  If however the opponent plays c, then following the arrow we move to the state on the right which plays c.   From this state, the response to both f and c is to stay in this state for now and forever.  These strategies are fnite automata and any one strategy against any other will either immediately have a repeated cycle or after an initial jostling will settle into a repeated cycle.  For example, if Eve plays Tit-for-Tat and Adam plays Tat-for-Tit then we have the following 3 period cycle for Eve’s and Adams’s states respectively,  (f, c)  →  (c, c)  →  (c, f)  →  ....  which  gives  rise  to  a  cycle of payoffs, (-2, 13) → (0, 0) → (13, -2). Assuming the per period discount factor is very close to one, we can take an average of these payoffs in the cycle as the average per period payo , 3  . This calculation has been done for all pairs and is given in attachment 2.

(a)  Show that we end up with the same strategy pair repeated every period (so a one period cycle) when Always Faithful plays Humpty. Use this to confrm the payoffs (-2, 13) giveninthe payoff matrix in attachment 2. Why isitreasonabletoignore the frst few rounds until we have a repeated cycle to calculate the average per period payoff?

(b) Assume that Eve and Adam both start by using Grim Trigger.  However, after eons in a faithful relationship, Adam cheats! After cheating he writes Eve a letter (attachment 3) begging for forgiveness.  Imagine you are Eve.  Decide what you would do and write a reply to Adam’s letter that you compose after the game is played the next period when Adam did in fact return to being faithful.

(c) Assume that Adam uses a mixed strategy by rolling a dice (so each strategy is . Calculate Eve’s expected payoff from each of her pure strategies (to 3 decimal places). What is her best reply to this mixed strategy?

(d) With the evolutionary approach, the interpretation of a mixed strategy is that everyone in a population uses one of the pure strategies with a proportion Sit  of the population playing strategy i in period t where i represents the strategies num- bered 1 to 6.  The state of the system in period t is st  = (S1t, S2t, S3t, S4t, S5t, S6t)

and each player is matched with every other in the population to play this game in period t.  Let ①it (st ) be the average payoff from playing strategy i in period t and ①t  be the average of this average payoff,

①t  =Xi(6)=1 sit ①it (st )

Assume the following version of what is called a replicator dynamics

si(t+1) = sit ①it (st )

①t

i. Using the idea of imitation, briefly explain this process of adjustment.

ii. Assume that the starting point (initial condition) is that in period 1 there is an equal proportion of each strategy in the population, s1  ,  ,  ,  ,  , ). Explain why ①i1(s1 ) is equal to the calculation in part c) for Eve’s expected payoff from strategy i. Use yourcalculationsin partc)toworkout theaverage payoff, ①1  (so take the average of the expected payoffsof Eve’s 6 strategies).

iii.  Show that s12  = 0.153. Repeat the calculation for the other 5 strategies to give s2 .

iv. If each game was not repeated infnitely but instead for 200 periods, what strategy dominates Tit-for-Tat (not included in these 6 strategies)?

(e) Attachment 4 gives results from some simulations after  100  and  150  periods. Simulation 1 starts from the equal proportions in part d).  Simulations 2,3 and 4 start from initial conditions very close to each other.   The numbers in bold

in simulations 3 and 4 indicate how the initial conditions vary from simulation 2. With the aid of these simulations, describe the evolutionary dynamics of this process.

(f) Robert Axelrod invited participants to submit strategies for the repeated pris- oner’s dilemma to be played in a tournament.  Your research task is to research this and discuss it paying attention to the following:

. Includea summary ofwhathedid with theinitial tournament andsubsequent developments.

. The game theorist Ken Binmore has been critical of some of the conclusions that Axelrod has drawn from his analysis. Find something on this and include a summary of his critique.

. Having done all this research, give your own brief assessment of Axelrod’s analysis and the critique.