Introduction

There are a total of five questions worth 4 + 6 + 8 + 7 + 7 = 32 marks in this assignment.  Please note that working and/or justification must be shown for all questions to obtain full marks.

This assignment is worth a total of 10% of your final mark, subject to hurdles and any other matters (e.g., late penalties, special consideration, etc.)  as specified in the FIT2086 Unit Guide or elsewhere in the FIT2086 Moodle site (including Faculty of I.T. and Monash University policies).

Students are reminded of Monash University’s policies on academic integrity.   In  submitting  this assignment, you acknowledge your awareness of Monash University’s policies on academic integrity and that work is done and submitted in accordance with these policies. You are not permitted to use generative AI (such as, but not limited to, ChatGPT) in any capacity when answering this assignment.

Submission: Please submit a single PDF file containing your answers via Moodle.  Scans of handwritten answers are acceptable but they must be clean and legible. You must ensure your submission contains answers to the questions in the order they appear in the assignment.  Submission must occur before 11:55 PM Monday, 21st of August, and late submissions will incur penalties as per Faculty of I.T. policies.

Question 1 (4 marks)

In Lecture 1 we learned about several different types of general data science techniques/applications: (i) risk prediction, (ii) recommendation systems, (iii) forecasting, (iv) anomaly detection, (v) image recognition systems, (vi) generative AI systems. For each of the following problems, suggest which of these application types the problem belongs to and justify your selection:

1.  Creating an image of a gorilla riding a motorcyle?    [1 mark]

2.  Discovering the shopping preferences of customers at Coles?    [1 mark]

3.  Predicting the amount of panadol that will purchased in the next week?   [1 mark]

4.  Using genomic and lifestyle factors to determine the chance of an individual contracting diabetes in the next two years?   [1 mark]

Table 1: Table of the joint probabilities of a football team winning (W = 1) or losing (W = 0) when playing at home  (H =  1) or away  (H = 0) and whether they won  (P =  1) or lost  (P = 0) their previous game.

Question 2 (6 marks)

It is common in many sporting leagues for teams to alternate playing games at their own venue (i.e., “at home”) and at other team’s home venues (i.e., “away”).  It is usually assumed that teams will play better at home, when they have support from their own fans, than when they play away.  It is also commonly assumed that teams gain confidence from wins, and lose confidence from losses, so that they are more likely to win after a previous win and lose after a previous loss. Imagine we are working as a data analyst for a football team, and have collected data from the performance of the team. This is a (simple) example of sports analytics, an area of data science which is rapidly growing in importance over the last few years.

Imagine we have obtained information on a large number of previous games the team has played, along with information on whether they were played at home or not.  Specifically, we have:  whether the team won (W = 1) or lost (W = 0) their game; whether the game was played at home (H = 1) or away (H = 0); and whether the previous game that they played was a win (P = 1) or a loss (P = 0). Using this data we have calculated the joint probabilities r(W, H, P) of these three events. These are shown in Table 1.  Please use these probabilities to answer the following questions with appropriate working/justification/explanation:

1. What is the marginal probability of the team winning a game, i.e., what is r(W = 1)?     [1 mark]

2. What is the probability that the team will win a game, given that they lost their previous game, regardless of whether they are playing home or away?    [1 mark]

3. What is the probability that the team will win a game, given that they won their previous game, regardless of whether they are playing home or away?    [1 mark]

4.  Do you believe that the team is more likely to win after winning their previous game than if they lost their previous game?   [1 mark]

5. Imagine that the team has won their previous game.  They will next play at home and then away. What is the probability that they will go on to win one or more of the next two games?     [2 marks]

Question 3 (8 marks)

Imagine that we roll a fair six-sided die and a fair four-sided die (i.e., all sides have the same prob- ability).   Let  X1  and Y1  be the independent random variables representing the outcomes of those events respectively. Let S = 2 X1 − Y1 be two times the outcome of the roll of the six-sided die minus the outcome of the roll of the four-sided die. Please answer the following questions with appropriate working/justification.

1. What is the expected value of S, i.e., what is E [S]?   [1 mark]

2. What is the variance of S, i.e., what is V [S]?    [1 mark]

3.  Determine the probability distribution of S, i.e., the probability that S  ∈ {−2, . . . , 11}.     [1 mark]

4. What is the expected value of S3 , i.e., what is E iS3]?   [1 mark]

5.  Calculate the approximate value of E iS3] using the Taylor-series procedure discussed in Lecture 2.   [2 marks]

6. Imagine that we roll a second fair four-sided die; call the outcome of this roll Y2 .  What is the expected value of (2 X1 − Y1 + 2 Y2 )2 , i.e., what is E i(2 X1 − Y1 + 2 Y2 )2]?   [2 marks]

Question 4 (7 marks)

Imagine that a continuous random variable X defined on the range (0, s) follows the probability density function

where s > 0 is a parameter that controls the scale of the distribution.  Answer the following questions; you must include appropriate working.

1.  Plot the probability density function of X when s = 1 and s = 2 for x ∈ (0, 3).    [2 marks]

2.  Determine the expected value of X, i.e., E [X].    [1 mark]

3.  Determine the expected value of √X , i.e., E l√X].   [1 mark]

4.  Determine the variance of X, i.e., V [X].    [1 mark]

5.  Determine the median of X .   [2 marks]

(hint:  the answers to Q4.2 through Q4.5 will all be functions  of s).