1    .

Deinition 1. A preference ranking > over a set of alternatives 第 is transitive if, for any three alternatives, A,B, C E 第, if A > B and B > C, then A > C.

There is a society with 3 individuals:  i,j, k (Irma, Jakie and kelly).  Their preferences are represented as:

Irma:  A >i  B >i  C

Jakie:  B >j  A >j  C

kelly:  C >k  B >k  A

Irma proposes a system where each individual associates 3 points to his or her favourite alternative,  2 to the second  and  1 to the third.   The  sum  of each individual points will constitute the social ranking.

1.1    show the social ranking resulting from Irma,s method.

Alternative A receives 3 points from i, 2 from j and 1 from k.  Total is 6. Alternative B receives 2 points from i and k and 3 from j.  Total is 7. Alternative C receives 1 point from i and j and 3 from k.  Total is 5.  The social ranking is therefore B > A > C.

1.2    show that Irma,s method always gives a transitive so- cial ranking (hint: notice that in the natural numbers, i.e.  1）2）3）. . . , “greater than”  is transitive)

call 论A , 论B , 论c  the total points of alternatives A,B, C respectively.  For any alternative X , 论x  E ” .  That is, the total score is a natural number.

Fact 1  For any pair of alternatives X and Y , Irma,s method gives X > Y if and only if 论x  > 论y .

Let X, Y, Z be three alternatives. we want to show that if X * Y and Y * Z , then X * Z.

suppose X  * Y  and Y  *  Z.   By Fact 1, we then have 论x   持  论y   and 论y  持 论z . By the transitive property of“greater than”, then 论x  持 论z . using Fact 1 again, we have X * Z.  Thus, if X * Y and Y * Z, then X * Z, as we wanted to prove.

2    .

There is a society with 4 individuals: i,j, k, l (Irma, Jakie, kelly, Louise). Their preferences are represented as:

Irma： A *i  C *i  B

Jakie： B *j  A *j  C

kelly：  B *k  C *k  A

Louise： A *l  C *l  B

2.1    Find the set of pareto e田cient alternatives

All three alternatives are pareto e伍cient. To see this, suppose we choose A—if we move to either B or C, then Irma would be worse of.  suppose we choose B—if we move to either A or C, then Jackie would be worse of.  suppose inally that we choose C—if we move to B, then Irma would be worse of, and if we move to A, then kelly would be worse of.

The society needs to choose one of the three alternatives.  As Louise and kelly are the youngest ones, the society wishes to give their preferences extra- consideration. consider the following social choice method:

及ound 1—select between B and C：each individual“votes” for the alter- native she prefers the most between the two.  The alternative with most votes is selected for Round 2.  In case of a tie, Louise,s preferences will determine the selected alternative.

及ound 2—choose between selected alternative and A：each individual“votes” for the alternative she prefers the most between the two. The alternative

with most votes is chosen. In case of a tie, kelly,s preferences will deter- mine the selected alternative.

2.2    which alternative would be chosen if the society was to use this method？

The chosen alternative is A.  In Round 1, Jackie and kelly will vote for B, while Irma and Louise will vote for A.  As we have a tie, Louise will choose and the selected alternative is C. In Round 2, Irma, Jackie, and Louise will vote for A, while kelly would vote for C. Alternative A is chosen.

Now consider the following social choice method:

及ound 1—select 2 alternatives: each individual “votes” for the alternative she prefers the most between the three.  If an alternative gets the most votes, then it is chosen.  otherwise, the two top alternatives are selected for Round 2.

及ound 2—choose between the 2 selected alternatives: each individual “votes” for the alternative she prefers the most between the two. The alternative

with most votes is chosen.  In case of a tie, Louise,s preferences will deter- mine the selected alternative.

2.3    which alternative would be chosen if the society was to use this method？

The chosen alternative is A.  In Round 1, kelly and Jackie vote for B, while Irma and Louise vote for A.  we have a tie and no alternative gets more than half the votes. So we go to Round 2 between A and B.  In Round 2, again kelly and Jackie vote for B, while Irma and Louise vote for A.  As we have a tie, Louise chooses and she chooses A.

3    condorcet Method (open Agenda)

A society is composed of 3 individuals named 2, 6, and 10.  There are three alternatives, whether to have one, three, or ive parties.  we label these three alternatives, respectively, 1, 3, and 5.  For any individual i (where i is a name

like 2, etc), her utility if alternative A is chosen is given by

ui (A) = - (i - 2A)2 .

For example, if the alternative chosen is A = 5, individual i = 6 receives utility equal to

u6 (5)   =   - (6 - 2 根 5)2

=   - (6 - 10)2

=   -16.

3.1    what is the most favourite alternative for each indi- vidual？

ui (A) has maximum at A = i/2.  Hence, 2,s favourite alternative is 1, 6,s is 3, and 10,s is 5.

For the remaining of this exercise, assume voters vote sincerely.  I also invite you to think about whether sincere voting would be a Nash equilibrium of the voting game.

3.2    consider a majority vote between alternatives  1 and 3. which alternative would win？

2 votes for 1 and 6 votes for 3, since they are their favourite alternatives. It is easy to show that u10 (1) < u10  (3) and 10 votes for 3. 3 wins.

3.3    consider a majority vote between alternatives 3 and 5. which alternative would win？

similarly, 3 in this case gets the votes of 2 and 6, but not the vote of 10.  3 wins.

3.4    what can we conclude about the alternative 3？ Alternative 3 is the condorcet winner.

4    Arrow,s Impossibility Theorem

A friend of yours proposes a system to choose between diferent alternatives and proves to you that this is not a dictatorship.  using Arrow,s impossibility theorem, what must you conclude？

By Arrow,s Impossibility Theorem, the system proposed has at least one of the following properties:

1. there exists preference proiles such that the system gives an incomplete or intransitive ranking;

2. the system does not satisfy unanimity;

3. the system does not satisfy independence from irrelevant alternatives.

5    strategic voting in plurality Elections

There is a plurality election with three candidates, {X, Y, Z}. You are a voter with preferences X > Y > Z.  You read in an accurate poll that there are three types of voters:

1. circa 49% will surely vote for Z;

2. circa 48% will surely vote for Y ;

3.  circa 3% have the same preferences you have, but have not yet decided for whom to vote.

5.1    what is a plurality election？

A plurality election is a system to elect a single candidate in whcih each voter is allowed to express a single vote for only one of the candidates.  The candidate who receives the largest number of votes wins the election.

5.2    If all voters like you  (group 3) vote sincerely, which candidate would you expect to win？

I would expect candidate z to win, since I expect her to receive 49% of the votes against 48% for Y and 3% for X .

5.3    If all voters like you (group 3) vote strategically, which candidate would you expect to win？

The most likely scenario in which any voter like me can be pivotal is that a single vote can decide between Y and z being elected.  Thus, strategic voters with preferences X  * Y * z will vote for Y.  I would then expect Y to win with 51% of the votes against 49% for z and 0% for X .

6    strategic voting and the swing voter,s curse

Assume that you are a member of a jury voting by simple majority rule between two alternatives:  A or B.  There are other 99 jurors.  You have been told the following: if A is the correct alternative, then 50 of the other voters will vote for A and 49 will vote for B; If B is correct, then 50 of the remaining voters vote for B and 49 vote for A.  That is, in each possible state, a majority of 50vs49 voters are guessing correctly. This means that you are the so called swing voter and the result of the ballot depends on you.  You think that  A is the correct alternative with probability 80%.

6.1    If you vote for A and your vote is pivotal  (i.e.  deci-

sive), which alternative must be the correct one？

A vote for A can be decisive only if B is the correct alternative.

6.2    Is voting A a good idea for you？

No, because it can only make so that the correct choice is not chosen when B is correct.

6.3    If you vote for B and your vote is pivotal  (i.e.  deci-

sive), which alternative must be the correct one？

A vote for B can be decisive only if A is the correct alternative.

6.4    Is voting for B a good idea for you？

No, because it can only make so that the correct choice is not chosen when A is correct.

6.5    If you were given the alternative between voting A, B , or abstaining, what would you prefer to do？

Both voting for A or B can only decrease my expected payof.  Thus, I would prefer to abstain, since this leaves my expected payof unchanged.

If you have answered correctly, then you have proven a result known as the swing voter,s curse. congratulations!

7    "Majority  voting  aggregates  information  dis- persed among the voters." comment in no more than two paragraphs. Make sure to refer clearly to major results in voting theory.

The condorcet Jury Theorem states that if n sincere voters have each proba- bility p 持 1/2 to form a correct opinion in a binary choice, then the probability that the outcome of a majority voting is ex-post correct tends to 1 as n grows large. Recent game theoretical representations of this problemshow that strate- gic voters can achieve the same result for arbitrarily imprecise information. In this sense, majority voting is a valuable system to aggregate information that is dispersed among the voters.

8    .

There is a society with 71 individuals.  Each individual,s name is a (natural) number between 1 and 71.  call i the name  (number) of each individual.  Her preferences are given by the utility function

ui  = - |A - i|

where A is an alternative and  | ① |  is  the  absolute value  of ① .   The  set of the alternatives is 第 = {1, 4o, 81}.

8.1    For any individual i E {1, . . . , 71}, ind her bliss point. (Hint： if you make a list of 71 bliss points, you are not being very e田cient).

The bliss point of individual i is the alternative A E 第 closer to i.  Thus, for all i 三 2o, the bliss point is 1.  For all  2o < i 三 6o, the bliss point is 4o.  For all i 持 6o, the bliss point is 81.

8.2    Are the preferences of these individuals single-peaked？

Yes, pick any pair of alternatives i 三 A、< A、、, then

ui (A、)   =   - |A、- i| = i - A、

ui (A、)   =   - |A、、- i| = i - A、、

Thus,  ui  (A、)  持 u、、(A、、)   —今  A、 < A、、.   A very similar argument applies to A、、< A、三 i.

You might notice that there is more than one median voter.

8.3    what is their bliss point？

The median voters are all those with 20 < i 三 60.  Their bliss point is 40.

8.4    suppose that the bliss point of the median voter(s) is put to vote against another alternative of your choice. what would be the result of the vote？  (How many votes for each alternative？)

Let 40 be put to vote against  1.  Then all the voters i 三 20 will vote for  1; everybody else will vote for 40. The result is 51 votes for 40 and 20 votes for 1.

8.5    According to the median voter theorem, what is the unique equilibrium outcome of an open agenda method in this society？

The unique equilibrium outcome is that 40 is chosen.

9    .

There is a society with three voters, 装 = {a,b, c}. voters have preferences over three possible alternatives {0, 1, 3} as follows:

0 >a  1 >a  3；

1 >b  0 >b  3；

3 >c  1 >c  0.

9.1    Do the voters exhibit single-peaked preferences？  (pro- vide a justiication for your answer)

voter a has single-peaked preferences over {0, 1, 3}:  her bliss point is 0, which is the smallest alternative.  The more we increase the alternative, the less she prefers that alternative  (her  preferences  are  monotonically decreasing in the alternative).

voter b has single-peaked preferences over  {o, 1, 3}:  her bliss point is the median alternative out of only 3 possible ones.  If we decrease the alternative, she is less happy; similarly, if we increase it, she is less happy.

voter  c  has  single-peaked preferences over  {o, 1, 3}:   her  bliss  point  is  3, which is the largest alternative. The more we decrease the alternative, the less she prefers that alternative (her preferences are monotonically decreasing in the alternative).

9.2    Is there  a  condorcet winner  in this society？  If so, which theorem guarantees its existence and why？

yes. This is guaranteed by the Median voter Theorem, as all voters have single- peaked preferences.

9.3    which alternative is the condorcet winner, and why？

order the voters by their bliss point:  a,b,c.  Then b is the median voter.  Given the answer to 2.1, by the Median voter Theorem we have that 1 is the condorcet winner.

10    .

In an election there are two candidates, L and R.  Both candidates only care about winning the election,i.e.  they are o伍ce-motivated.  There is a continuum of voters of total mass 1.  A generic voter has name i.  A fraction T  E (1/2, 1) of the voters have income gi   = gl.  The remaining fraction  (1 - T) of voters have income gi  = gh  持 gl.  The set of possible alternatives is all the tax rates T between o and 1. The taxis purely redistributive: if  is the mean income, the consumption of voter i is equal to

ci  = gi + T ( - gi ) .

Each voter wants to maximize her own consumption.

Before the election, candidates L and R choose platforms TL  and TR , respec- tively. That is, each chooses a tax rate.  Each voter then observes the platforms and votes for the candidate whose platformshe prefers.

10.1    Express the mean income as a function of the income of the two groups？

 = Tgl + (1 - T) gh