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ST301 — Exercises parts II and III

1. widow,s pension. A married couple buys a combined life insurance and widow,s pension policy specifying that premiums are payable at rate π  as long as both husband and wife are alive, widow,s pension is payable at rate b (as long as the wife survives the husband), and a life assurance with sum S is due upon the death of the husband if the wife is already dead (a beneit to their dependents). The policy terminates at time n. The relevant Markov model is summarized in the picture below (the same as in the slides, with diferent transition intensities!):

(a)  Give the expressions of the transition probabilities poi(o, t) for all i = {o, 1, 2, 3} and all t = [o, n].

(b) provide Thiele,s diferential equations for the reserves vi(t) for all states i = o, 1, 2, 3, together with the corresponding boundary conditions.

2.  consider two lives with ages x and g.  Denote μ从+t  and μg+t  theirrespective mortality forces.

(a) what is the remaining lifetime of the joint life status？ compute its survival probability and give the form of its force of mortality in the case when the two lives are independent.

(b)  consider the following policy:  a beneit B payable upon the irst death is funded by a time continuous premium whose (constant) rate π, which is paid as long as one life is alive. compute the premium using the equivalence principle.

(c)  Deine the remaining lifetime T(-) of the last survivor status and compute how long is the time interval between the irst death and the last death on average.

3.  A life insurance on John and paul pays death beneits as follows:

(i)  1 at the death of John if paul is alive,

(ii)  2 at the death of paul if John is alive,

(iii)  3 at the death of John if paul is dead and

(iv) 4 at the death of paul if John is dead.

The joint distribution of the lifetimes of John and paul is equivalent to the joint distribution of two independent lifetimes each age x.  show that the net single premium of this life insurance is equal to 7Ac - 2Acc.

4. The igure below illustrates the common  shock  model.   This  is  the joint  life  and last survivor model, adjusted to allow for the possibility that the husband and wife die at the same time (for example as the result of a car accident). An insurance company issues a joint life insurance policy to a married couple.  The husband is aged 28 and his wife is aged 27. The policy provides a beneit of 5OOOOO immediately on the death of the husband provided that he dies irst.  The policy terms stipulate that if the couple die at the same time, the elder life is deemed to have died irst. premiums are payable annually in advance while both lives are alive for at most 3O years.

Question:  calculate the annual net premium using an efective rate of interest of 5% per year and transition intensities of

where A = O.OOO1, B = O.OOO3, c = 1.O75 and D = O.OOO35.

5. Diversiiable vs non-diversiiable risks  1 An insurer issues a portfolio of identical 5- year term insurance policies to independent lives aged 75.  one-half of all the policies have a sum insured of 1OOOO, and the other half have a sum insured of 1OOOOO.  The sum insured is payable immediately on death. The insurer wishes to measure the uncertainty in the total present value of claims in the portfolio.  The insurer assumes an interest rate of 6% per year efective.

The following values will be very useful in the computations:

9. unit-linked fund  1. An office issues 3o-year unit-linked endowment assurance policies to lives aged 3o. The policies are inanced by a continuous premium payable at rate π .

At any time t, half of the premium is invested in a unit fund which grows at a constant force of interest T. The remaining half is allocated to a cash fund at a null force of interest T*  = o. At time t = 3o or on earlier death the policyholder will receive the accumulated amount of the fund or a guaranteed sum b = 1, whichever is larger.

There is also the possibility of surrenders which occur independently of deaths and with a constant intensity δ  > o.  surrenders are entitled to their share of the unit fund  (without guarantees) but not to any of the cash fund.

(a) write down and solve the differential equations (with the right boundary conditions) satisied by the value U (t) of the unit fund.

(b) write down and solve in integral form the diferential equation (with the right boundary condition) satisied by the value V (t) of the cash fund.

(c)  using the equivalence principle, set an equation for the premium rate π .  Notice that you are not asked to solve explicitly the equation.

10. Unit-linked fund 2. An office issues 3o-year unit-linked endowment assurance policies to lives aged 3o. The policies are inanced by a premium π0  paid upfront.

At any time t = o, half of the premium is invested in a unit fund which grows at a constant force of interest T .  The remaining half is allocated to a cash fund at a null force of interest T* = o.

At time t = 3o or on earlier death the policyholder will receive the accumulated amount of the fund or a guaranteed sum b = 1, whichever is larger.

There is also the possibility of surrenders which occur independently of deaths and with a constant intensity δ  > o.  surrenders are entitled to their share of the unit fund  (without guarantees) but not to any of the cash fund.

(a) write down and solve the diferential equations (with the right boundary conditions) satisied by the value U (t) of the unit fund.

(b) write down and solve in integral form the diferential equation (with the right boundary condition) satisied by the value V (t) of the cash fund.

(c)  using the equivalence principle, set an equation for the premium π0 .  Notice that you are not asked to solve explicitly the equation.