Question 1

Two-dimensional incompressible laminar boundary layers are governed by the following equations (in a dimensionless form):

 +  = 0   &   u  + v  = –  +

where x = x1 , y = x2 ,  u = u1  and  v = u2  if compared to the suffix no- tation used during the course. The overbars indicate non-dimensionalised variables (not to be confused with the time-averaged).

(a) Specify the reference quantities by which the variables above (x , y , u , v and p) are non-dimensionalised (no need to repeat the derivation process given in the lecture slides/notes). [5 marks]

(b) For a plat-plate BL, it is reasonable to assume zero pressure gradient (PG) when the oncoming flow  is  parallel to the  plate.   Derive  the laminar BL velocity profile at zero PG, known as Pohlhausen profile:

u(y) = y4 – 2y3 + 2y    for   0 ≤ y ≤ 1,

u(y) = 1   for   y ≥ 1.

[5 marks]

(c) In a wind tunnel, a group of students are measuring the u-velocity profile on a flat plate but they realise that the oncoming flow is not exactly parallel to the plate.  This means that the PG is non-negligible, and the v-velocity outside the BL is non-zero.  The students find that the measured u-velocity profile fits to

u(y) = –y2 + 2y   for   0 ≤ y ≤ 1

and they also find the following ratios:

δ

L

= 

at

,

y = 1.

Now, the students want to figure out two things:  (1) the v-velocity profile and (2) the PG, by using the governing equations given above. Assuming the following simple profile for the v-velocity:

v(y) = ay2 + by    for   0 ≤ y ≤ 1

determine the constants a and b and the PG that satisfy the gov- erning equations (for any y  ∈  [0, 1]) and the  v-velocity  at y =  1. Specify whether the BL is under an accelerating or decelerating mean flow. [10 marks]

(d) The drag coefficient of a flat plate is defined as

CD = 

where  S  is  the  surface  area  of  the  plate.    It  is  possible  to  relate the drag with the  momentum thickness of the  BL.  The flat  plate has a width of 1m.   The  BL  thickness  at the trailing edge of the plate  is 2.3cm  in  (b)  and 2cm  in  (c).   Calculate  and  compare the drag coefficients for the two different scenarios (b) and (c) above. Explain the difference in drag relating to the  PG  in fewer than 30 words. [10 marks]

Question 2

For a flat plate  BL, the following equation  known as  MIE  (momentum integral equation) has been derived during the course:

 =  =  y=0

where θ = 0 at x = 0 (the leading edge of the plate).

(a) Using the  Pohlhausen  profile  (given earlier  in  Question  1)  and the MIE, derive an equation to show how the momentum thickness of a laminar BL (LBL) changes with the streamwise coordinate on the flat plate, i.e. θ LBL = θLBL (x).  It is desirable to express the equation in terms of Rex = Ux/ν . [10 marks]

(b) For a turbulent BL (TBL) on a flat plate at zero PG, it is known that the momentum thickness is approximately estimated by

θ TBL (x) =  .

This equation  is valid only  if the turbulent  BL  starts  right  at the leading edge (LE) of the plate (x = 0).  However, normally, a laminar BL develops from the  LE and  it  becomes turbulent at some  point downstream via a transition process. We denote the transition point xT  (see the figure below).  In this case, the TBL cannot be assumed to have originated from the LE, and we imagine that it came from a “virtual” origin denoted by x0 which is somewhere between the LE and xT. This means that the above equation should be modified to

θ TBL (x) =     for   x ≥ x0 .

Now,  it  is  reasonable  to  assume  that  the  momentum  thickness  is matched at the transition point between the LBL and TBL:

θ LBL (xT) = θTBL (xT)

where θLBL (x) has been obtained in (a).   In  a wind tunnel test,  a group of students are finding that the transition occurs at the centre of the  plate  (xT   =  L/2).    The  Reynolds  number  of  the  plate  is ReL = 4.243 × 105.  Firstly, determine the virtual origin of the TBL. Secondly, calculate the ratio between the drag from the second half of the plate (under TBL) to that of the first half of the plate (under LBL). Based on the result, how much larger is the drag due to the TBL compared to that of the LBL? Here, consider the upper surface of the plate only.

[10 marks]

Question 3

An irrotational line vortex at the origin of strength k (in m2 /s ) gives a

velocity potential of

φv (r, θ) = kθ + cst.

A line source at the origin of strength Q (in m2 /s ) gives a velocity

potential of

φs (r, θ) =  ln r + cst.

Consider a potential flow field with an irrotational line vortex of strength k placed at the origin and a line source of strength Q placed at the position (r, θ) = (d,0) as shown in figure 3.1 below.

(r, θ)

R

Line Source

at (d,0)

Figure3.1. Position of line vortex and line source.

(a)    Give an equation for the distance R from the line source to a position (r, θ) as shown in the figure. [2 marks]

(b)   Write an equation for the velocity potential φ(r, θ) at any position (r, θ) on the plane. [3 marks]

(c)    Give equations for the radial velocity ur (r, θ) and the circumferential velocity uθ (r, θ). [6 marks]

(d)    Define a ‘Stagnation Point’ and using the radial velocity equation   show that any stagnation point has to lie on the curve r = d cos θ . [3 marks]

(e)    Demonstrate that on this curve the distance R to the line source is given by

R = dsin θ                                                                          [2 marks]

(f)    Using also the equation for uθ , show that the stagnation point lies at (rs, θs ), where

θs  = tan-1 (-   and

rs  = dcos θs  =  . [3 marks]

Consider the specific case where Q = 10 m2 /s  and k = 1 m2 /s  .

(g)   Copy figure 3.2 below.  Calculate the position of the stagnation point and mark it on the figure. [2 mark]

(h)   Sketch a few streamlines on the same figure to illustrate the flow pattern.

[Hint: calculating the stream function to determine the

streamlines would take too long for a rough sketch.  Instead    consider first the flow in the vicinity of the line vortex and the  vicinity of the line source, then consider the likely shape of the streamlines further away.  Remember that streamlines cannot  cross each other except at a stagnation point.] [4 marks]

Figure3.2. Provide your answers to parts(g)and(h)on acopy of this graph.

Question 4

In this question all flows can be assumed to be one-dimensional inviscid  flows of a perfect gas with gas constant R = 287m2s-2k-1  and constant ratio of specific heats Y = 1.4.  Gravity can be neglected.

(a)   Starting with m = PAu, where A is the cross-sectional area of  the duct, m is the mass flow, P the density and u the velocity, show that

 = M (1 + M2)-o.5(Y+1)/(Y-1)

where P is the stagnation pressure, T is the stagnation

temperature and M is the Mach number (note the use of

stagnation pressure and temperature in this equation, not static pressure and temperature). [5 marks]

The remainder of this question relates to the design of an experimental test rig to examine aerodynamic shocks in a convergent-divergent

nozzle.

A large air tank is pressurised to pressure Po  and temperature To .  The tank feeds air to the test section, shown in figure 4.1 below, which

exhausts to atmospheric conditions.

The area at the nozzle is A2  = 0.1m2 .

The rig is designed to provide a Mach 2 shock with an inlet Mach number of M1  = 0.5.

Figure 4.2 shows a graph of  against Mach number M based on the equation in part (i).

Figure 4.3 shows a graph of the stagnation pressure ratio Pr  = ppupstTeam(downstTea)m

across a normal shock against upstream Mach number M.

M1    

A2  = 0.1m2

A3

Figure4.1. Schematic(nottoscale)of con-di nozzle test section.

Figure4.2. Graph of m.sqrt(T)/APvs Mach number.

Figure4.3. Graph ofStagnation Pressure Ratio Pr vs Mach number.

Use the graphs above to answer the following questions, showing your working where appropriate:

(b)   What is the value of  at the nozzle (plane 2)? [2 Marks]

(c)   What is the value of  at the inlet?

Use this to deduce the area A1  of the inlet. [5 Marks]

(d)   What is the value of  just upstream of the shock at the design condition?

What is the smallest exit area, A3,min, which the designer can choose if the specified shock Mach number is to be achieved? [4 Marks]