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Option pricing

1. A "European call option" for the purchase of an asset in period 1 at a stike of K is traded for a price of q0  in period 0.  The asset can be bought at a price of s0  in period 0 and will have a price of sH  or sL , sH  > K > sL , in period 1. Borrowing and lending is possible at the interest rate r .

(a) Determine the hedging portfolio for the European call option.

(b) What price must the option have in period 0 to make arbitrage impossible? How could an agent make arbitrary riskless profits if the option price q0 were less than the arbitrage-free price?

(c) Determine the price of the Arrow securities in this economy.

2. A  "European call option" for the purchase of a stock in period 1 at a strike price of $75 is traded at a price of q0  in period 0. This stock can be bought or sold at a price of $40 in period 0 and is expected to have a price of either $100 or $50 in period 1. Borrowing and lending are possible at an interest rate r .

(a)  Show that markets are complete by deriving the unique price vector of the Arrow securities.

(b) Draw a diagram showing the per-dollar returns of the stock, the riskless asset, and the Arrow securities.

(c) Determine the hedging portfolio for the call option and indicate it in the diagram derived in (b).

(d)  Give a formal definition of an 'arbitrage-free price system' and derive the arbitrage-free price of the option.

(e)  Show that for any other option price arbitrage would allow an investor to obtain an arbitrarily high riskless return.

3.  Consider the setting in question 2 and derive the formula for the price of the put option on the same stock with the same strike price $75: Check that your answer together with the price for the call option given in class satisfies put-call parity formula for European options

where c is the price of the call option, p is the price of the put option, r is the risk free rate. Both options are written on the same stock with the current price S and both options have the same strike price X: