Question 1

Joe's utility function for movies at the theater (T) and DVDs watched at home (D) is given by

U=4T²+D²(MU,=8Tand   MUp=2D)

1. Write an equation for MRSrD.

2.  Would  bundles   of  (T=2   and  D=2)and(T=1   and  D=4)  be   on  the   same  indifference curve?

3.  Are  Joe's  indifference  curves  convex?(Does  MRSrp  fall  as  Trises?)

Solution:

1. Using the equation for MRSro, we find

2. For bundles to lie on the same indifference curve, they must provide the same level of utility.

For     the     first     bundle:     U(T=2,D=2)=4(2)²+(2)²=4(4)+4=16+4=20.

For       the       second       bundle:U(T=1,D=4)=4(1)²+(4)²=4(1)+16=4+16=20.

Because the bundles provide the same level of utility, they must lie on the same indifference curve.

3.   To   answer   this   question,   calculate   MRSro   at   each   of   the   bundles;   remember

MRSrD=4T/D.

When      T=1      and      D=4:MRSrD=4T/D=4(1)/4=1

When      T=2      and      D=2:MRSrD=4T/D=4(2)/2=4

So, Joe is willing to trade more DVD-watching for fewer theater tickets as he watches more movies in the theater. What does this mean? Joe's indifference curves are actually concave, not convex, violating the fourth characteristic of indifference curves.

Question 2

James has $40 per week he can spend on movie tickets (M)at $10 each or burritos (B) at $5 each.

a. Write an equation for James's budget constraint and draw it on a graph that has burritos on the horizontal axis.

b. Suppose the price of burritos rises to $8.Draw James's new budget constraint.

Solution

a.  The  budget  constraint  represents  bundles  James  can  feasibly  purchase,  and  takes  the form:

Income     =PBB+PMM

40=5B+10M

Since we are putting burritos on the horizontal axis, we want to find an equation for M as a function of B, or

10M=40-5B

M=4-0.5B

b. To find the new budget constraint, simply change the price of burritos to $8.

Since the price of movie tickets has not changed, we know the budget constraint will pivot inward, to a new horizontal intercept of 5 burritos.

Question 3

Sarah gets utility from soda (S) and hotdogs (H); her utility function is given by

U=S⁰ .5H⁰ .5

Sarah's income is $12, and the prices of sodas and hotdogs are $2 and $3, respectively. What is Sarah's utility-maximizing bundle of sodas and hotdogs?

Solution

The  tangency  condition  for  maximization  is

Substituting in the parameters yields

So

To find the exact quantities, use the budget constraint:

Income=PsS+PmH       or       12=2S+3H

S=3   and   H   =2

Question 4

Draw two indifference curves for each of the following pairs of goods. Put the quantity of the 1st good on the horizontal axis and the quantity of the 2nd good on the vertical axis.

a. Paul likes pencils and pens but does not care which he writes with. b. Rhonda  likes  carrots  and  dislikes broccoli.

c. Emily likes hip-hop iTunes downloads and doesn't care about heavy metal downloads.

d. Michael only likes dress shirts and cufflinks in  1 to  1 proportions.

e.  Carlene  likes pizza  and  shoes.

f.    Steven dislikes both fish and potatoes.

Solution

In the figures that follow, bundles along the indifference curve labeled U2 are strictly preferred to bundles along the indifference curve Ui.

a. Paul is equally as happy with a pen as with a pencil. Therefore, these two goods are perfect substitutes.

Pencils

b. Carrots are a good and broccoli is a bad for Rhonda.

Broccoli

Carrots

c. Hip-hop is a good, heavy metal is a neutral.

Heavy

metal

music

Hip-hop music

d.   Dress   shirts   and cufflinks   are   perfect complements.

e. Both pizza and shoes are good for Carlene.

Pizza

f.    Steven's      indifference curves  are  downward-sloping;  if  you  give  Steven   1  more  fish,

it  will  reduce  his  utility,  so  to  keep  his  utility  constant,  you  must  increase  his  utility by  taking  away  some  of the  potatoes  he  dislikes.

Fish

Potatoes

Question 5

José  gets  satisfaction  from  both  music  and  fireworks.  Jose's  income  is  $240  per  week.  Music costs  $12  per  CD,  and  fireworks  cost  $8  per  bag.

a. Graph  the  budget  constraint  José  faces,  with  music  on  the  vertical  axis  and  fireworks on  the  horizontal  axis.

b. If José spends all his income on music, how much music can he afford? Plot a point that illustrates this scenario.

c. If Jose spends all his income on fireworks, how many bags of fireworks can he afford? Plot a point that illustrates this scenario.

d. If José spends half his income on fireworks and half his income on music, how much of each can he afford? Plot a point that illustrates this scenario.

e. Connect the dots to create Jose's budget constraint. What is the slope of the budget constraint?

f.   Divide the price of fireworks by the price of music. Have you seen this number before and, if so, where?

g. Suppose that a holiday bonus temporarily raises Jose's income to $360. Draw Jose's new budget constraint.

h. Indicate the new bundles of music and fireworks that are feasible, given Jose's new income.

Solution

Jose  has  income  of  I=$240,  the  price  of music  is  Px=$12,and  the  price  of  fireworks  is P,=$8.

.

(Bags)

b.

This is shown as the point labeled b in the figure below.

C.

This is shown as the point labeled c in the figure below.

d.

This is shown as the point labeled d in the figure below.

.

(Bags)

The slope of the budget constraint is

f

.

This is - 1 times the slope of the budget constraint.

g.

(Bags)

h

.

(Bags)

The   shaded   area   shows   the   new   bundles   of   music   and   fireworks   that   are   feasible   for

Jose.

Question    6

Find  the  utility-maximizing  bundle  for  a  Cobb  Douglas  utility  function  U(X,Y)=  x⁴Y¹-a where  X  and  Y  denote  two  goods  and  "a"is  the  preference  parameter.  Assume  that  Px  and

Py denote the price of good X and Y, respectively, and I denotes the income.

Solution

There   are  two   approaches  to   solving  the   consumer's  utility-maximization  problem  using  calculus.  The  first  relies  on  what  we  already  demonstrated  in  this  chapter:  At the  optimum,  the  marginal  rate  of  substitution  equals  the  ratio  of the  two  goods'

prices.  First,  take  the  partial  derivatives  of the  utility  function  with  respect  to  each of the  goods  to  derive  the  marginal  utilities:

Next,  use  the  relationship  between  the  marginal  utilities  and  the  marginal  rate  of substitution  to  solve  for  M  RS  xy  and  simplify  the  expression:

Find  Yas  a  function  of Xby  setting  MRSxy  equal  to  the  ratio  of the  prices:

,where is    a    constant

Now that we have the optimal relationship between Y and X, substitute the

expression for Y into the budget constraint to  solve for the optimal consumption

bundle:

Question 7

Eric's  utility   function  is  u(x,y)=   3x+4y  and  faces  prices  px=$1  and  py=$2.5  and  income I=$23.Comparing  his  MRSxyand  the  price  ratio,  find  his  optimal  consumption  of  goods  x and   y.(Corner   solution!)

Solution

·  First,  we  need  to  calculate  Eric's  marginal  rate  of  substitution,

and  compare  it  to  the  ratio  of prices,

-    Since Eric  receives  more  benefit  by  solely  consuming  good  x.  Alterna- tively,  the  "bang  for  the  buck"he  obtains  from  good  x, is  larger than  that  for  good  y, ,inducing  him  to  keep  increasing  his

purchases  of good  x,  while  reducing  those  of good  y,  until  he  only  consumes the   former.

-  In  this  case,  Eric  can  consume