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Q1  Matrix Algebra (4 points)

Version 1:

(a) (2 points) Please write the following system of equations in the matrix form,i.e., write it as a single equation of matrices.

7x1 - 5x2 + 9x3     =   y2

2x1 + x2 - 3x3     =   y3

(b) (2 points) Let C denote the coefficient matrix in part (a). Calculate C′  × C.

Answer:

(a)

↓ 7

( 2

(b)

1 ! ↓ x2(x1)   ! =  ↓ y2(y1)   !

-3 ） ( x3   ）    ( y3  ）

C =  ↓ 7(0)

( 2

1 ! C/   =  ↓   4(0)

-3 ）          (  -1

1(2)   !

-3 ）

53

-33

57

Version 2:

57

-52

91

!

)

(a) Please write the following system of equations in the matrix form,i.e., write it as a single equation of matrices.

9x2 - 5x3     =   y2

7x1 - x2 - 3x3     =   y3

(b) Let C denote the coefficient matrix in part (a). Calculate C × C′ .

Answer:

(a)

↓ 0

( 7

(b)

-15 ! ↓ x2(x1)   ! =  ↓ y2(y1)   !

-3 ） ( x3   ）    ( y3  ）

C =  ↓ 0(1)

( 7

-15 ! C/   =  ↓  1(1)

-3 ）          (  1

71 !

-3 ）

C × C/   =  ↓ 3

( 3

6(3)  !

59 ）

Marking standard for Q1:

+1 Correct expression for C

+1 Correct equation bk = y

+2 Correct matrix multiplication (+0.5 for correct C/ ).

Remark.  For questions 2-4, you need to show your intermediate steps to get full marks.

Q2  (12 points) Consider the following maximisation problem:

x(m)xU (x, y) s.t. px x + pyy = M

for some strictly positive prices px , py  and strictly positive income M.  We don’tknow much about U except that it is twice differentiable, increasing, and itsindifference curves look like this:

Version  1:   Write down the Lagrangian function and its first-order conditions.   Is  every solution to these FOCs a solution to this maximisation problem? Explain your answer.

Answer:

/ (x,y, λ) = U (x, y) - λ (px x + pyy - M)

FOCs:

 - λpx  = 0                                                            (1)

 - λpy  = 0                                                            (2)

px x + pyy - M = 0                                                        (3)

Not every solution to these equations is a solution to the MAX problem.  The following graph illustrates a counterexample:  (x* , y* ) satisfies Equations (1) and (2) because the budget line is tangent to the indifference curve at this point, which means that MRS = /  = px /py . It satisfies Equation (3) because it is on the budget line.  However, (x* , y* ) does not maximise U because we can landon a higher indifference curve if we move to  ╱x/ , y/、.

Alternatively, you can use the answer from Version 2 to argue that not every solution to these equations is a solution to the MAX problem because U violates the sufficient condition.

Marking standard for version 1:

+3 for FOCs

+2 for correct intuition and conclusion without a complete proof

+7 for correct proof

Version  2:  Is the sufficient condition/second-order condition of the Kuhn-Tucker method satisfied? Prove your answer.

No.   U  violates  the sufficient condition because it is not quasi-concave.   As  shown in the graph below, (x1 , y1 ) and (x2 , y2 ) are both on the same indifference curve with U (x1 , y1 ) = U (x2 , y2 ) = C, but their middle point (x3 , y3 ) is on a lower indifference curve with U (x3 , y3 ) < C.  Therefore, the set Xc  = {(x, y) |  U (x, y) > C} is not convex.  This proves that U is not quasi-concave.

Marking standard for version 2:

+2 Correctly state the sufficient conditions.

+1 Proved that the constraint function satisfied the sufficient condition (but did not realise that U fails it).

+2 for correct intuition and conclusion that U is not quasi-concave

+7 for correct proof: U is not quasi-concave

Q3  (12 points) Constrained minimisation/maximisation with equality constraint Consider the minimisation problem:

min   x1 ,x2 ,x3

C (x1 , x2 , x3 )   s.t. F (x1 , x2 , x3 ) = Y

C is the total cost function:

C (x1 , x2 , x3 ) = p1 x1(2) + p2 x2(2) + p3 x3(2)

where p1 , p2 , p3  are strictly positive prices.

F is the production function:

F (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2(2)x3(3)

where Y > 0 is the target output quantity.

Version 1: p1  = 3, p2  = 2, p3  = 1

Version 2: p1  = 1, p2  = 3, p3  = 4

(a) (8 points) Find the solution to this problem when Y = 20 (version 1) or Y = 30 (version 2). Don’t forget to check both the necessary and sufficient conditions.

(b) (4 points) Let C*    Y = 20 (version  1) or Y = 30 (version 2)?

Answer:

Because this is a cost-minimisation problem and x1 , x2 , x3  are units of inputs, we can assume that x1  > 0, x2  > 0, x3  > 0 (otherwise negative inputs would not make economic sense).

(a) Set up the Lagrangian:

/ (x1 , x2 , x3 , λ) = p1 x1(2) + p2 x2(2) + p3 x3(2) - λ ╱x1 x2(2)x3(3) - Y、

Necessary conditions:

[x1] :  2p1 x1  = λx2(2)x3(3)

[x2] :  2p2 x2  = 2λx1 x2 x3(3)

[x3] :  2p3 x3  = 3λx1 x2(2)x3(2)

[λ] :  x1 x2(2)x3(3) = Y

Because Y > 0 and prices are also positive, all x’s and λ must be non-zero, so the following calculations are feasible and we won’t encounter cases in which denominators are equal to 0. Divide [x1] by [x2]:

1

p(p)2(1)x(x)2(1) = 2λx1(λx)x2(22x)3(3) = 2x(x2)1  → x2(2) = p2(2p)1  (x1 )2  → x2  =  ╱ p2(2p)1 ← 2   x1

Divide [x1] by [x3]:

1

p(p)3(1)x(x)3(1) = 3λx1(λx)x22(22x)3(2) = 3x(x3)1  → x3(2) = p3(3p)1  (x1 )2  → x3  =  ╱ p3(3p)1 ← 2   x1

Now that we can substitute x2  and x3  with functions of x1 , plus them into [λ]:

x1  2(1)  x1]2  ) 2(1) x1]3      =   Y

 ×  2   (x1 )1+2+3     =   Y

3

(x1 )6      =   Y  2

1

x1(*)    =    lY 2(3)] 6

1

x2(*)    =     2  x1(*)

1

x3(*)    =     2  x1(*)

Version 1: p1  = 3, p2  = 2, p3  = 1, Y = 20.

x1(*)      ≈   0.792059

x2(*)      ≈   1.37189

x3(*)      ≈   2.37618

Version 2: p1  = 1, p2  = 3, p3  = 4, Y = 30.

x1(*)      ≈   2.02661

x2(*)      ≈   1.65472

x3(*)      ≈   1.7551

Check sufficient conditions:

·  C needs to be convex, or a differentiably strictly increasing transformation of a convex function, or a quasi-convex function with anon-zero gradient at the solution

Let C1 (x1 , x2 , x3 ) = p1 x1(2) , C2 (x1 , x2 , x3 ) = p2 x2(2), and C3 (x1 , x2 , x3 ) = p3 x3(2). It’s easy to check that C1 , C2 , C3  are all convex functions on R p1 x1(2) + p2 x2(2) + p3 x3(2) is the sum of these three convex functions, it must be convex, too.   Alternatively, you can calculate the Hessian of C:

HC  =  l 20(p)1

[   0

0(0)   」

2p3   l

Two ways to use the Hessian to show that C is convex:

1.  The leading principal minors are 2p1  > 0, 4p1p2  > 0, 8p1p2p3  > 0.  H is positive definite,so C is strictly convex.

2.  The principal minors are:  (order 1) 2p1  > 0, 2p2  > 0, 2p3  > 0, (order 2) 4p1p2  > 0, 4p1p3  > 0, 4p2p3  > 0, (order 3) 8p1p2p3  > 0.  H  is positive semi-definite, so C is convex.

·  The constraint function F needs to be quasi-concave.

When x1  < 0, x2  < 0, x3  < 0, the constraint function F (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2(2)x3(3) is quasi- concave because it is a differentiably strictly increasing transformation of the concave function f (x1 , x2 , x3 ) = ln ╱x1 x2(2)x3(3)、= ln x1  + 2 ln x2  + 3 ln x3 .  f is concave because it is the sum of three concave natural log functions.  Alternatively, you can also check the Hessian off to show that it’s concave:

↓

Hf  =  (

(

0

0

  3

x3(2)

!

)

)

H is negative definite  (which  implies that  f  is  strictly  concave) because the order-1 and order-3 leading principal minors,  - x11(2)   and - x1x22(26)x3(2)   are strictly negative and the

 .   Alternatively, you can show that H is negative semi-definite (odd-ordered principal minors are weakly negative and even-ordered principal minors are weakly positive) and use that to conclude that f is concave.

It’s possible to use adifferent transformation. For example, g (x1 , x2 , x3 ) =╱x1 x2(2)x3(3)、k    is a concave function ifk < 6, and F (x1 , x2 , x3 ) = g (x1 , x2 , x3 )k  isa differentiably strictly increasing transformation of the concave function g if k < 6.

Therefore, the MIN problem satisfies the sufficient conditions, and (x1(*), x2(*), x3(*)) is indeed the

solution to this (b)

problem.

∂C*

∂Y

= λ*

Because 2p1 x1  = λx2(2)x3(3) from the first-order condition [x1],

λ*      =

≈

≈

2p1 x1(*)     

(x2(*))2 (x3(*))3

0.188207 (version 1)

0.27381 (version 2)

Q4  (12 points) Constrained maximisation/minimisation with inequality constraints

x(m)x xy s.t. 2 (x + 1)2 + (y + 1)2  ● 5

(a) Find the solution to this problem.  Don’t forget to check both necessary and sufficient conditions.  (6 points)

Marking standard:  2pts for sufficient conditions,  2 pts for setting up the correct necessary conditions and case discussions, 2pts for finding the correct solution

(b) What happens if we add another two constraints: x > 0 and y ● 0 (version  1) or x ● 0 and y > 0 (version 2)? Find the new solution.  (3 points)

Marking standard: +2 if found one solution; full marks if found all solutions

(c) What happens if the constraints are x > 0 and y < 0 (version 1) or x < 0 and y > 0 (version 2)?  (3 points)

Marking standard:  1~1.5pts for stating that solution does not exist, full marks if provided the correct explanation. -1.5 if states that “the solution is close to 0”.  +0.5 if states that strict inequality constraints do not bind and do not enter the Lagrangian.

Answer:  (This problem is somewhat similar to Example 1 in Lecture 10.)

(a) Find the solution to this problem.  Don’t forget to check both necessary and sufficient conditions.  (6 points)

Here is the graph of the function xy on the domain D = |(x, y) | 2 (x + 1)2  + (y + 1)2  ● 5|:

Here is the graph of the level sets of xy on the domain D =

(x, y) | 2 (x + 1)2 + (y + 1)2  ● 5

:

(i) Check sufficient conditions:

The objective function  f (x, y)  =  xy  does not satisfy the sufficient condition for a MAX problem because it is not quasi-concave on D.  In the Contour Plot, the indifference curve at the most upper-left corner  (where  the  darkest  shape  of blue  is)  has  the wrong  shape that indicates a violation of quasi-concavity, so we’re going to pick points near that curve to construct our proof.   Specifically, take  (x1 , y1 )  =  (-2.2, 0.4)  and  (x2 , y2 )  =  (-0.8, 1.2) (these points are near the left and right ends of the problematic indifference curve). Both of these points are in D and their middle point, ╱x1/2, y1/2、= (-1.5, 0.8), is also in D. However, f (x1 , y1 ) = -0.88, f (x2 , y2 ) = -0.96, but f ╱x1/2, y1/2、= -1.2 < min {f (x1 , y1 ) , f (x2 , y2 )}. This violates the definition of a quasi-concave function (PS2). It’s worth noting that the results on the quasi-concavity of Cobb-Douglas functions from PS3 do not apply when the domain of the function contains x < 0 or y < 0.

(For your reference, the constraint function 2 (x + 1)2  + (y + 1)2  = 2x2  + 4x + y2  + 2y + 3 is a sum of 5 convex functions (strictly convex + linear + strictly convex + linear + linear). Therefore, it is convex and satisfies the sufficient condition.  More explicitly, we can write down its Hessian matrix

4

H =

0

2 ;

Both leading principal minors  (8 and 4) are strictly positive, so the constraint function is strictly convex and satisfies the sufficient condition for a MAX problem. However, this doesn’t matter too much here because the sufficient condition is already violated.)

Because this problem does not satisfies the sufficient conditions for a MAX problem, we cannot guarantee that any feasible point that satisfies all necessary conditions must be a solution to this MAX problem.  However, if we can show that a solution exists, then the solution must be among the feasible points that satisfies all necessary conditions.

Does a solution exist?  Yes.  By the Extreme Value Theorem, because the domain D is an ellipse (see graph below) that contains all of its interior and boundary points, it is both closed and bounded.  Because f (x, y) = xy is a continuous function on the compact domain D , it must have a global maximum on D , so we must have at least one solution, and all solution must satisfy all the necessary conditions.

 The shape of theset D. (ii) Check necessary conditions:

The Lagrangian function is

校 (x,y, λ) = xy - λ |2 (x + 1)2 + (y + 1)2 - 5|

[x]: y = λ (4x + 4) = 4λ (x + 1)

[y]: x = λ (2y + 2) = 2λ (y + 1)

[λ]: λ > 0, 2 (x + 1)2 + (y + 1)2  三 5, λ |2 (x + 1)2  + (y + 1)2  - 5| = 0

Case 1:  λ = 0.  Then, [x] and [y] imply that x = y = 0.  All conditions are satisfied and this is a solution candidate. At x = y = 0, f (0, 0) = 0.

Case 2:  λ  > 0.  This implies that 2 (x + 1)2  + (y + 1)2   = 5.  This equation means that we cannot simultaneously have x = 0 andy = -1, so we are allowed to divide equation [x] by [y] (which assumes that x  0 and y  -1) to get rid of λ.  As a result, we will get  =  .