NOTE:      For constants a and b , (a + b)2  = a2 + 2ab + b2 .

1  Select FOUR of the following scenarios. State whether the underlined statements are true or false. You MUST provide reasoning for your answer.

a  Consider a time series generated from the following model:

yt  = p0 + p1t2 + yt−12 +  t ,

where  t  is a white noise series, p0  and p1  are constants. A seasonal differenc- ing and a first differencing are sufficient to make the time series stationary.

b  The  following  sample  autocorrelations  are  computed  using  a  time  series  of

length 500:

Assume  that  the  sample  autocorrelations  are  approximately  normally  dis- tributed.   Only the first two autocorrelations are statistically significant at the 5% level.

c  The MA(2) model given below is stationary and invertible:

yt  = 0.3 +  t + 1.2 t−1 + 0.8 t−2 ,

where the white noise series  t  ∼ N(0, 4).

d  Suppose the error sum of squares has decreased after including an additional term in the model. As a result, the value of the Akaike Information Criterion (AIC) will also decrease.

e  The  ETS(A,N,N)  model  has  a flat  forecast  function,  and the width  of the pointwise prediction intervals is fixed.

f The ACF plot shown to the right of Figure 1 does not match with the time

plot given.

[Total: 20 marks]

2  Figures 2 and 3 show the time, seasonal, and subseries plots for quarterly sales (in millions of dollars) from food and beverage services in New Zealand over the period

1995 Q3–2020 Q4.

a  Using Figures 2 and 3, describe the sales data for food and beverage services in  New  Zealand .   Your  answer  must  refer  to  information  obtained  from  all three plots. [9 marks]

b  The sales time series is decomposed into its components using two different settings. The estimates of the decomposition are shown in Figure 4.

Comment on

•  what is plotted in all eight panels of Figure 4;

•  the behaviour of each component over time;

•  the effect of using robust = TRUE.

Which setting would you consider appropriate for this time series?

[16 marks] [Total: 25 marks]

3  Figure 5 shows the number of employees’ in food and beverage stores in the US over the period January 1990–March 2021.

a  Briefly comment on the main features that you can observe in this time series?

Can you identify any unusual observations? [4 marks]

b  The R code below is used to fit two models to the employees’ data shown in Figure 5 and to extract summary output from each model.

The estimated components for the two models are shown in Figure 6. Use this information to answer questions 3(b)i–3(b)vi.

fit <- employees_food %>%

model(

additive = ETS(Persons ~ trend("A")),

damped = ETS(Persons ~ trend("Ad"))

)

a  Use Figures 8 and 9 to find an appropriate differencing to obtain a stationary time series for employees’ data.  Give reasons for your selection.  [6 marks]

b  The R code below is used to fit three models to the employees’ data and extract summary output from each model.

Consider the model for your choice of differencing in 4a to answer questions 4(b)i–4(b)iii.

fit <- employees_food %>%

model(arima1 = ARIMA(Persons ~ pdq(d = 1) + PDQ(D = 0), stepwise = FALSE),

arima2 = ARIMA(Persons ~ pdq(d = 0) + PDQ(D = 1), stepwise = FALSE),

arima3 = ARIMA(Persons ~ pdq(d = 1) + PDQ(D = 1), stepwise = FALSE))

fit %>% select(arima1) %>% report()

## Series: Persons

## Model: ARIMA(4,1,0)(0,0,2)[12]

##

## Coefficients:

##         ar1    ar2     ar3     ar4    sma1    sma2

##      0.0810  -0.181  -0.1915  -0.1115  0.7616  0.5468

## s.e.  0.0547   0.051   0.0511   0.0539  0.0602  0.0572

##

## sigma^2 estimated as 0.0001507:  log likelihood=1112

## AIC=-2210  AICc=-2210  BIC=-2182

fit %>% select(arima2) %>% report()

## Series: Persons

## Model: ARIMA(2,0,1)(1,1,2)[12]

##

## Coefficients:

##         ar1    ar2     ma1    sar1   sma1     sma2

##       1.9639  -0.965  -0.9190  -0.737  0.121  -0.6135

## s.e.  0.0221   0.022   0.0319   0.168  0.155   0.0936

##

## sigma^2 estimated as 6.55e-05:  log likelihood=1231

## AIC=-2449  AICc=-2448  BIC=-2421

fit %>% select(arima3) %>% report()

## Series: Persons

## Model: ARIMA(0,1,0)(0,1,2)[12]

##

## Coefficients:

##         sma1     sma2

##      -0.5482  -0.1959

## s.e.   0.0595   0.0602

##

## sigma^2 estimated as 6.721e-05:  log likelihood=1223

## AIC=-2440  AICc=-2440  BIC=-2428

i  Describe the relationship between the relevant ACF and PACF plots given in Figure 9 to the orders estimated in the ARIMA model. [5 marks] ii  Write down the estimated model using the backward shift operator. [3 marks]

iii  Use the information given below to compute a 1-step-ahead forecast and its 95% prediction interval for the model written in 4(b)ii. [8 marks]

[Total: 22 marks]

Information about arima1 model

## # A tsibble: 15 x 3 [1M]

##      Month Persons   .resid

##      <mth>   <dbl>    <dbl>

##  1 2020 Jan   3.06 -0.0124

##  2 2020 Feb   3.05 -0.00915

##  3 2020 Mar   3.03 -0.0222

##  4 2020 Apr   3.01 -0.0302

##  5 2020 May   3.08  0.0590

##  6 2020 Jun   3.14  0.0306

##  7 2020 Jul   3.13 -0.0202

##  8 2020 Aug   3.13  0.0261

##  9 2020 Sep   3.11  0.00132

## 10 2020 Oct   3.13  0.0111

## 11 2020 Nov   3.16  0.0165

## 12 2020 Dec   3.18  0.0164

## 13 2021 Jan   3.14 -0.0125

## 14 2021 Feb   3.14  0.0212

## 15 2021 Mar   3.13 0.00427