1. Let (Xt)t≥0  be a birth and death process on states {0, 1, 2, 3} with state 0 absorbing, birth rates λ1 = 1, λ2 = 3 and the death rates µ1  = 1, µ2  = 1, µ3  = 1.

(a)  Draw the diagram of the jump chain of (Xt)t≥0  and indicate the distribution of the sojourn times.

(b)  Suppose that X0, the state of the process at time t = 0, is uniformly distributed on the set {1, 2, 3}.  Compute the expectation of the time at which the process is absorbed at state 0.

2.  Certain device consists of two components.  The amount of time that the components work before breaking down has exponential distribution with rate  1.   If  any  of the  components fails, the repair time has exponential distribution with mean 2.  The two components work independently and are repaired independently of each other.

The number of components working  at time  t is given by the process  (Xt)t≥0   which  is  a continuous time Markov chain.

(a)  Determine the genetator Q of (Xt)t≥0 .

(b)  Determine the stationary distribution of (Xt)t≥0 .

(c) In the long run, what fraction of time both components work simultaneously?

3. Let X and Y be random variables. Suppose that X ~ Exp(2), and given X = x, Y is distributed on [0, x] with linear density

fYlX (y|x) = αxy.                                                        (12)

(a)  Determine αx.

(b)  Compute E(Y | X = x).

(c)  Compute E(Y).

4.  The economic history of a certain county is characterized by alternating periods of long eco- nomic growth and periods of long recession.  Suppose that the lengths of all periods are inde- pendent and have uniform distribution on [0, 1] (in years), both for growth and recession.  At the beginning of our observation (time t = 0) a new recession starts.

(a) Let X  and Y be independent random variables having uniform distributions on  [0,1].

Compute

( '

' t < 0,

P (X + Y < t) =〈 0 < t < 1,

' 1 < t < 2,

' t > 2.

(

[Hint. Draw a unit square.]

(b) What is the long-run probability that there will be no new recession starting within next year [Hint. Formulate using the excess life.]

5.  Let X1, X2 , . . . be  i…i…d …   random  variables  having  exponential  distribution with rate  1,  i.e., X1 ~ Exp(1).

(a) Let Y be an exponential random variable with rate λ. Compute

for t e (-o , o ).  (Recall that MY(t) is called the moment generating function of Y). (b) Using the result from (a) show that for any t < 1, the process (Zn)n≥1 defined by

Zn = (1 - t)net Xi,    Z0 = 1

is a nonegative martingale.

Zt = eXt . (25)

Determine the probability that the price of the share doubles before it drops by one half (i.e., probability that the price increases from 1 to 2 before in drops from 1 to 1/2).

7.  The fluctuations of the cash assets of a certain company are modeled by a Brownian motion with variance parameter σ2  = 2 reflected at 0  (taking only positive values).   Suppose that initially (at time t = 0) the cash assets of the company are equal to 10.

Determine the probability that at time t = 50 the cash assets do not exceed 20.  [Express the answer in terms of the CDF of the standard normal distribution Φ(x).]