Question 1 (11 marks)

Evaluate the following limits, if they exist.   In this question you must state if you use any standard limits, limit laws, continuity, l’Hˆopital’s rule or the Sandwich Theorem.

log(πx)

北→2   1 二 x2

l北 ╱ x 二(s)2(in)o(π)) 、

(c) 北l ╱ 、

Question 2 (11 marks)

For the following series, indicate if they are convergent or divergent. Justify your answer with any relevant tests that you use.

&                3n            

2n(n + 1) + sin(n)

n=1

&   n2 + 1

n2 二 1

&   2n n!

nn

n=1

Question 3 (8 marks)

Use the complex exponential to evaluate the following:

d10  

dx10

(b)      e北 sin(2x)dx

Question 4 (16 marks)

(a)  Show that

for n ∈ 立.

x cosh(nx) dx =                   二                + C

(b) Hence or otherwise, use a hyperbolic substitution to evaluate

arccosh( ^x2 + 1) dx.

(c) Use the definition of cosh(x) in terms of exponentials to show that

2 cosh(2x) cosh(3x) = cosh(5x) + cosh(x).

(d) Evaluate     e2北 cosh(2e北 ) cosh(3e北 ) dx.

You can use results from earlier parts of this question.

Question 5 (7 marks)

(a) Find the equilibrium solutions of the differential equation

dy

dx

Recall that equilibrium solutions are solutions where y(x) is a constant function.

Solve the initial value problem

 = cos2 (y) + x2 cos2 (y),     for  二  < y <

given y(0) =  .

Question 6 (7 marks)

(a)  Give an example of an autonomous first-order differential equation,    =  f (y) with

infinitely many equilibrium solutions.  Briefly explain why your example has infinitely many equilibrium solutions.

(b) Give an example of a first order ODE,  + 伫(x)y = Ω(x) such that I = x3 is a possible integrating factor. You do not need to solve the example that you provide.

(c) Draw a phase plot for an autonomous first-order ODE  = f (p) so that the ODE has exactly one stable equilibrium solution, exactly one unstable equilibrium solution and exactly one semi-stable equilibrium solution.  You do not need to explicitly write the rule down for f .

Question 7 (13 marks)

Consider the inhomogeneous linear second order ODE

y\\ + ky\ + y = x2

where k ∈ R is a parameter.

(a) For which values of k does the characteristic equation of the associated homogeneous

ODE have two real roots, one real repeated root, a pair of complex conjugate roots?

Find a particular solution of the inhomogeneous ODE, treating k ∈ R as an unknown constant. Is there a value of k such that y = x2  is a particular solution?

(c) Using your answer from earlier parts,  or otherwise,  find the general solution to the inhomogeneous ODE:

y\\ + y\ + y = x2

Question 8 (10 marks)

A mass of weight 1kg is attached to one end of a spring and hung from a ceiling.

(a)  Draw a diagram of the mass-spring system, while it is below the equilibrium position

at a point in time when the mass is moving upwards.  Include arrows indicating the gravitational force, damping force and spring force acting on the mass.

The system is described by the differential equation

y¨ + 2y˙ + 9y = 0.

Describe the behaviour of the mass in the long run,  and note whether there is any oscillatory behaviour. You do not need to solve the ODE.

(c)

Suppose we apply a force f (t) = sin(ωt) to the mass so the system is now described by the differential equation

y¨ + 2y˙ + 9y = sin(ωt)

where ω > 0.  For what values of ω will the mass oscillate with an amplitude that is bounded (i.e., the amplitude of oscillation does not get arbitrarily large)?

Question 9 (14 marks)

Consider a function given by the rule:

f (北, y) =^1 二 北2 二 y2 .

(a)  State the largest possible domain on which f is defined and explain why f is continuous

at every point on this domain.

Find equations for the level curves of f for z = 0,  , 1 and sketch them on the same set of axes.  Clearly label each graph so as to be able to distinguish the level curves, and label any axis intercepts.

(c) Find equations for the x-X and y-X cross-sections and sketch their graphs, and label any axis intercepts.

(d) Hence sketch the graph the function f .

Question 10 (9 marks)

Consider the function of two variables f (北, y) = e北 cos(y).

(a)  Compute the directional derivative of f at (0, 0) in the direction of the vector (1, 1).

Find an equation for the tangent plane to the surface z = f (北, y) at the point (0,  , 1^2 ).

(c) Let x(t)  =  t2 cos(t) and y(t)  =  t2 sin(t).   Setting z(t)  =  f (x(t), y(t)),  compute the derivative  using the chain rule.

Question 11 (11 marks)

Consider the function f : D → R where the domain D = [二1, 1] × [二1, 1] is a square and f is

f (x, y) = cosh(x) sin(πy) .

(a)  Determine the location of all stationary points that lie within the domain D .

Compute the Hessian function H(x, y) associated with f at a general point (x, y).

(c) For each stationary point you computed in part (a) determine whether it is a maximum, a minimum or a saddle point. Justify your reasoning.