In questions 1 and 2, you must state if you use standard limits, limit laws, continuity, l’Hˆopital’s rule, sandwich theorem, or convergence tests for series.

Question 1 (13 marks)

Let f (x) = ,0(t)an(x) log 3sin(x)、

(a) Use the definition of continuity to determine if the function f is continuous at x = 0.

Use the divergence test to determine if the series

n f ╱   、

converges, or explain why the divergence test cannot be used.

Question2 (11 marks) Determine if each of the following series converge or diverge.

o

(a)       n=1

^n

2(n!)

(b)   o   4n + log(2 + )

n=1

Question 3 (5 marks)

(a) Use the exponential definition of the hyperbolic functions to prove the hyperbolic identity cosh(x - y) = cosh(x) cosh(y) - sinh(x) sinh(y),          x, y e R.

Hence or otherwise, sketch the graph of

y = cosh(x) - tanh(2) sinh(x).

Question 4 (12 marks)

(a) Evaluate the integral

(b) Use the complex exponential to evaluate the integral       e3北 cos 4x dx

Question 5 (7 marks) Consider the ODE

dy

(a) Find the general solution of the ODE.

(b) Sketch the family of solutions. Include solutions which pass through each of the following points:

i.     (0, 0)                      ii.     (1, 0)                      iii.     (2, 0)

(c) Find the solution satisfying the initial condition y(3) = 0. What is the domain and range of the solution?

Question 6 (7 marks) Consider the ODE

dy       y + x arctan(x) ^x2 - y2

=

dx                          x                    ,

y

x

 = arctan(x) ^1 - u2 .

Find the general solution of the original ODE.

Question 7 (9 marks) Consider the ODE

dy

(a)

On the same set of axes, sketch the equilibrium solutions, and sketch the solution y(x) for each of the following initial conditions:

y(0) = 2;          y(0) = 6;          y(0) = 9

For which value(s) of y(0) is  lim y(x) > 0?

北→o

Question 8 (9 marks) A 500L tank initially contains 100L of pure water.  Beginning at time t = 0, water containing 0.5 g/L of pollutants flows into the tank at a rate of 2L/minute, and the well-stirred solution is drained out of the tank at a rate of 1L/minute.

The amount x(t) (in grams, g) of pollutant in the tank at time t minutes satisfies the ODE

dx                x    

dt            100 + t .

Find the concentration of pollutant in the tank at the moment the tank overflows.

Question 9 (10 marks) Consider the ODE

d2y         dy

dt2            dt

where α e R and ω > 0 are constants.

(a) Let α = 6 and ω = 1. Find the general solution of the ODE.

For what value(s) of α and ω would a particular solution yp(t) of the inhomogeneous ODE have the form

yp(t) = at cos(ωt) + bt sin(ωt)

where a, b e R? Explain your reasoning.

Question 10 (7 marks) An object of mass 1kg is attached to a spring hanging vertically from a fixed support.  The spring has spring constant k = 50 N m_1 .  In equilibrium, the spring is stretched a distance s m. Assume that the gravitational constant is g = 10 m s_2 .

The system is subject to a damping force with damping constant β  =  10 N s m_1 .   In addition, a constant downward external force of f = 100 N is exerted on the object.

Let y(t) be the displacement in metres of the object below the system’s equilibrium position at time t seconds.

At t = 0 the object is released from rest, 0.2m below its equilibrium position.

(a) Use Newton’s 2nd law to show that the equation of motion for the system is y\\ + 10y  + 50y\ = 100.

Include a diagram of the system at a time when the object is below its equilibrium position and moving up, with all forces shown and labelled.

(b) State the initial conditions, in terms of y and y\ .

(c) Let v(t) = y\ (t) be the velocity of the object.  Differentiate the equation of motion to obtain a second-order ODE for v(t).

(d) Show that v\ (0) = 90.

Question 11 (13 marks) Consider the function f : R2 → R given by

f (x, y) = sech /^x2 + y2 、

and the surface S with equation X = f (x, y).

(a) Find the equation of the level curve of f at X = c.

(b) Sketch the level curve for each of the following values of c, or explain why it is not possible.

c = 1

(c) Find the equation of the cross section of S in the y-X plane, and sketch it.

(d)  Sketch the surface S .

Prove that the direction of steepest increase of f at a point (x, y) e R2 / {(0, 0)} is in the direction of the vector v = (-x, -y). Interpret this geometrically.