Question 1 (12 marks)

Evaluate the following limits if they exist, or explain why they do not exist.  In this question you must state if you use any standard limits, limit laws, continuity, l’Hˆopital’s rule or the Ssandwich Theorem.

(a)

lim (sin(x2 ) - 1)

北→&

(b)

sin(x2 ) - x2

北→0  cos(x2 ) - 1

(c)

(d)

sin(x2 ) - x2

北→&       x2 - 1

2n3 + n + 5  

Question 2 (8 marks)

Determine whether or not the following series converge.  In this question, you must state any tests for convergence or divergence that you use.

(a)

&   n2 + n + 1

2n3 - 1

(b)

&   n3

n!

n=1

Question 3 (7 marks)

Consider the family of sequences

fn = ╱ 、n ,    (n ∈ N)

where x is a real constant.

Note: This is a familb of sequences as (fn) denotes a different sequence for each value of x.

(a) Find all values of x for which the sequence (fn) converges. You should state any standard

limits that you use.

Let D be the set of values of x found in part (a). Define a function f : D → R given by

f (x) =  lim  fn .

This means the value of the function at a particular x value is the limit of the sequence for that particular value of x.

Is f continuous at every point in D? Briefly justify your answer.

Question 4 (7 marks)

(a) Use the definition of cosh(θ) to show that

cosh4 (θ) = 1 cosh(4θ) + 1 cosh(2θ) + 3

(b) Hence evaluate the following integral:

cosh2 (θ)(1 + sinh2 (θ)) dθ .

Question 5 (7 marks)

(a)  Calculate ╱  1^2  +^(i)2、2021 . Express your answer in the form a + ib, where a, b ∈ R.

Calculate the 2021st derivative of the function f (t) = e  cos(  ^(t)2 ).

Question 6 (13 marks)

Compute the following integrals, stating the technique that

(a)

x2 cosh(x3 + 2) dx

(b)

x4 + 2x + 1   

dx.

More space for (b) on the next page.

Space for 6(b).

(c)

(s2 + 2s + 2)一3/2 ds

Hint: Use the substitution s = tan θ - 1.

Question 7 (8 marks)

Consider the ODE

xy2   = x6 cosec ╱ 、 + y3             with -  <  < ,  x  0

(a)  Make the substitution u =  to obtain the ODE

u2   = x2 cosec(2u)         with -  < u < ,  x  0.

(b)

Find the general solution of the ODE (2) and hence find the general solution to the ODE (1).

You do not need to express u in terms of x when solving ODE (2), and you do not need to express y in terms of x in the solution to ODE (1).

You do not need to specify the domain of the solution or the constant from integration.

Question 8 (11 marks)

Consider the ODE

 = y4 - 16y2 .

(a) Find all the equilibrium solutions.

Sketch a phase plot showing the equilibrium solutions, and label the points where the derivative is at a maximum or minimum.

(c) Determine the stability of the equilibrium solutions.

(d)  Sketch the family of solutions for x ≥ 0.  Your sketch should contain the equilibrium solutions, and the solutions with the initial conditions y(0) = -1, y2 (0) = 1, and y3 (0) = 5. What is the long term behaviour for when the initial condition is y(0) = 1?  (Do not try to solve the ODE!)

Question 9 (10 marks)

Consider the second order ODE

+ 6      - 16y = cosh(2x).

(a)  Compute the general solution of the homogeneous ODE

d2y         dy

dx2          dx

(b) Find a particular and the general solution of the inhomogeneous ODE (4).

Hint: Use the definition of cosh x in terms of exponentials.

More space for (b) on the next page.

Space for 9(b).

Question 10 (7 marks)

A mass is attached to one end of a spring and hung from a ceiling.

L (natural length)

T

s (extension at equilibrium)

x (extension from equilibrium)

W

W is the force due to gravity, R is the damping force and T is the spring force.

(a)  Suppose that the mass on the spring is 2 kg, the damping constant is 2^2 kg/s and

the spring constant is 1 kg/s2 . Starting from Newton’s Second Law, show that the dis- placement of the mass from the equilibrium position can be described by the differential

equation

 +^2x˙ +  = 0.

(b) Is the system under-damped, critically damped or over-damped?  Briefly justify your

answer.

Suppose we want the displacement of the spring from equilibrium to be described by xp(t) = sin(t).

Assuming the same mass, damping constant and spring constant as in part (c), what external force should we apply to the mass to obtain this displacement?

Question 11 (12 marks)

Consider the function

f (x, y) = (x2 + y2 - 4)2 .                                                     (6)

(a)  Sketch the level curves f (x, y) = c for c = 0, c = 4 and c = 16. Clearly label the curves

so that a reader can tell which curve is which. Label all intercepts.

(b)  Sketch the x-z and y-z cross sections of the graph of z = f (x, y).  Label all intercepts,

as well as any stationary points.

Suppose, instead of the x - z or y - z cross-sections, we considered the cross-section of the surface z  = f (x, y), with the plane y - x = 0.   Describe in words  (or with a drawing) what the cross-section of the surface would look like, giving a brief reason for your answer.

Hint: It might help to think about what the whole surface looks like first.

Question 12 (5 marks)

The tangent plan to a function f (x, y) of two variables at the point (x, y) = (1, 1) is given by the equation

2x + 3y + z = 1

(a) Find the direction that f is increasing the most rapidly.  Give your answer as a unit

vector.

Find the directional derivative of f at the point (1, 1) going from (1, 1) to (2, 3).

Question 13 (12 marks)

Consider the function

f (x, y) = cos(x + y) + y2                                                                         (7)

(a) Find all the critical points of f and determine whether they are local minimums, local

maximums or saddle points.

π      π

(c)  Compute the iterated integral              f (x, y)  dx  dy,  without changing the order of 0      0

integration.   Compare this with the result in part b) and name the theorem which explains your findings.