Question 1 (11 marks)

Evaluate the following limits, if they exist.

In this question you must state if you use any standard limits, limit laws, continuity, l’Hˆopital’s rule or the sandwich theorem

(a) x  ╱ sin ╱x + cos(x)、、

(b)n(l)im_o ╱e-3 sin(πn)、

(c) 

3 sin(2x)

x_0 6x - 4x3

(d) 

ecos ( )

x_o        x

Question 2 (11 marks)

o

(a)  Compute the first four partial sums of       (n2 + 1).

n=1

(b) For the following series, indicate whether they are convergent or divergent. Justify your

answer with any relevant tests that you use.

o

(i)

n=1

n + 1 

2n2 + 1

n=1

Question 3 (10 marks)

Let z = a + ib be a complex number, a, b e R.

(a) For t e R, express the complex numbers ezt  and zezt  in cartesian form.

For differentiable functions f, g : R - R, and t e R, we define

(f (t) + g(t)i) = f\ (t) + g\ (t)i.

dt

Using this definition and the cartesian forms you determined in (a), prove

ezt = zezt .

(c) Name two real world applications where computations with the complex exponential become useful and explain why.

Question 4 (11 marks)

Evaluate the following integrals:

(a)      cosh(4x) exp(2 sinh(4x)) dx

(b)      ex cos(7x) dx

(c)      arcsinh(x) dx

Question 5 (14 marks)

Consider the curve C in the x-y plane described by the equations x = 5 cos(θ), y = 4 sin(θ), where 0 < θ < 2π .

(a) Find a relation relating y and x.

Sketch the graph of the curve C in the x-y plane.

Find functions f and g such that

C = {(x, y) | y = f (x)} u {(x, y) | y = g(x)}.

In other words, express C as the union of graphs of functions of x.

(d)     Evaluate      ^25 - s2 ds, carefully documenting each step of your calculation. Hence, calculate the area enclosed by C .

Question 6 (6 marks)

Consider the ODE

= y(y - 5)(y - 2)2 .

dx

(a) Find and classify the equilibrium solutions.

Describe the long term behaviour of the solution to this ODE with the initial condition y(0) = π .

Question 7 (8 marks)

Consider the Initial Value Problem

dy + xy = xy3 ,          y(0) = 1

(a)

- 2xz = -2x.

dx

Hence solve the original initial value problem.

Question 8 (11 marks)

A tank contains a soluble fertilizer solution consisting initially of 20 kg of fertilizer dissolved in 10 gallons of water.  Pure fresh water is being poured into the tank at a rate of 3 gallons/min and the solution (kept uniform by stirring) is flowing out at 2 gallons/min.

(a)  Show that the amount of fertilizer in the tank Q(t) is given by

dQ          2Q  

=    -

dt          10 + t .

Find the amount of fertilizer in the tank after 5 minutes.

There is more space for part (b) on the next page.

(c)

More space for part (b)

How long will it take to reach 25% of the initial amount of fertilizer in the tank?

Question 9 (13 marks)

Consider  a series  RLC circuit with  a resistor,  an inductor  and  a capacitor with  a driving electromotive force E . Set L = 1, R = 4 and C = 1/4.

The current equation is

d2 I          dI       1

dt2            dt     C

(a) Find the general solution to the corresponding homogeneous ODE.

Suppose you wish to drive the system to produce in the long term an oscillatory current of the form Ip = sin t.

(i) Find the electromotive force E that produces the particular solution Ip = sin t. (ii) Write down the steady state term for I(t) in this case.

There is more space for part (b) on the next page.

(c)

More space for part (b).

Write down the solution to the ODE (*) with the electromotive force found in part (b), given the initial conditions I(0) = 2 and   │t=0 = 4.

Question 10 (13 marks)

Let

f (x, y) = xy2 + x3y .

(a)  Calculate

lim      f (x, y).

(x,y)_(1,2)

Find the directional derivative of f at (1, 2) in the direction   anticlockwise from the positive x-axis.

(c)

(d)

Starting at (1, 2), in which direction does f decrease the fastest? Give your answer as a unit vector.

Find  at t = 0 given

x(t) = t cosh(2t)    and    y(t) = t3 et + 2e.

Question 11 (12 marks)

We wish to design a peg to fit a square or a round hole as shown. The peg has three parts: ·  a square end A on the left (side length 2r cm )

·  a solid cylinder B in the middle (radius r cm and length h cm)

·  a round circular end C on the right (radius 2r cm)                                                   

The centres of both ends and the axis of the middle cylinder must lie along the line LL\ .

A, C and the curved side of the cylinder B are to be made from sheet plastic. Suppose that the cost in dollars of sheet plastic is given by

c(r, h) =             + rh,     for r > 0, h > 0

where a(r, h) is the area in cm2  of sheet plastic used to make the peg.

Show that

4 + 4π        2π

h          r

Find the critical point (r, h) of the cost function and show that it is a local minimum.

More space for part (b) on the next page

More space for part (b)

For any value of r and h, find the mass M (in grams) of the cylinder B, given

h

=

0

r

(1 + x2 + y ) dx2 dy .

0

Question 12 (7 marks)

Consider the surface z = f (x, y) where f (x, y) = 1 + x2 + y2 .

(i)  Sketch the level curves of f corresponding to z = 1, 5, 10 on the same axes.

(ii)  Sketch the x-z and y-z cross sections.

(iii)  Sketch the surface, and describe/name the surface.