Question-1 Consider the following problems                                (18 marks)

(a)     maxx,y x2 + y2  subject to r2   2x2 + 6y2   s2  with 0 < r < s

(b)     minx,y x2 + y2  subject to r2   2x2 + 6y2   s2  with 0 < r < s

(i)        Solve problem (a) (ii)       Solve problem (b)

(iii)      How much does the optimal value of the function change if s changes by .1

unit in problem  (a). How much does the optimal value of the function change if r changes by .1 unit in problem (a).

(iv)      Check the second order condition for problem (b).

(v)       What are the geometric interpretations of (a) and (b)?

Question-2 Find the solution to                    (10 marks)

N                                                                                  N

minx −  log(i + xi ) subject to xi  > 0 and  xi  = 1 with i  > 0

i=1                                                                                i=1

N

Is the objective function − log(i + xi ) concave or convex? Prove your answer.

i=1

Question-3                                  (10 marks)

Suppose a consumer has a wealth of W. There is a probability p of a loss of L if an adverse event happens. The consumer can buy insurance that will pay him Q in case that the loss happens. The consumer has to pay 冗 per dollar insured as the premium. The consumer’s problem can be formulated as

maxQ pU(W − L−冗Q+ Q) + (1− p)U(W −冗Q)

i)         Find the first order condition.

ii)        Note    that    the    expected    profit    for    the    insurance    company    is (1− p)冗Q − p(1−冗)Q . Suppose that the market is competitive which forces the expected profit to be zero. In this case, find 冗 .

iii)       If the consumer is strictly risk-averse i.e. d2UdW2  < 0 , show that under (ii) the consumer fully insure against the lost i.e. Q* = L