Important Ideas and Useful Facts:

(i)  Inner product spaces: Let V be a vector space over R. We call V an inner product space if it is equipped with an inner product, that is, a mapping ⟨ , ⟩ : V × V → R such that

(a)  (∀u, v ∈ V)    ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ ,

(b)  (∀u, v, w ∈ V)    ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩ ,

(c)  (∀u, v ∈ V)(∀λ ∈ R)    ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩ ,

(d)  (∀v ∈ V)    ⟨v, v⟩ ≥ 0 and ⟨v, v⟩ = 0 if and only if v = 0.

Common examples are V = Rn  with respect to the usual dot product, and V the vector space of continuous real functions on a closed interval [a,b] with inner product defined

by, for f,g ∈ V ,

⟨f,g⟩  =  \a b f(x)g(x) dx .

(ii)  Simple consequences of the inner product definition: Let V be an inner product space. Then

(e)  (∀v ∈ V)    ⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0,

(f)  (∀u, v, w ∈ V)    ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ ,

(g)  (∀u, v ∈ V)(∀λ ∈ R)    ⟨u,λv⟩ = λ⟨u, v⟩ .

(iii)  Length or norm of a vector: Let V be an inner product space. Define the length or norm

of a vector v ∈ V to be

∥v∥  =  ⟨v, v⟩1/2  .

Length has the following properties:

(a)  (∀v ∈ V)    ∥v∥ ≥ 0 and ∥v∥ = 0 if and only if v = 0,

(b)  (∀λ ∈ R)(∀v ∈ V)    ∥λv∥ = |λ| ∥v∥ ,

(c)  (∀u, v ∈ V)    ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ .

The last property is known as the triangle inequality.

(iv)  Distance between vectors:  If v and w are vectors in an inner product space V then the

distance between v and w is ∥v − w∥ = ∥w − v∥ . Thus, from the triangle inequality, for any u, v, w ∈ V ,

∥u − w∥   ≤   ∥u − v∥ + ∥v − w∥ .

(v) The Cauchy-Schwarz inequality: If u, v ∈ V , where V is an inner product space, then

|⟨u, v⟩|   ≤   ∥u∥∥v∥ .

(vi)  Normalising a vector:  Call a vector v from an inner product space normal if ∥v∥ = 1.  If

v  0 then we normalise v by forming the normal vector

  =  v .

(vii)  Orthogonal vectors: Vectors u and v from an inner product space are said to be orthogonal

or mutually perpendicular if ⟨u, v⟩ = 0.

(viii)  Orthogonal and orthonormal sets of vectors: A set of vectors from an inner product space

is said to be orthogonal if every pair of distinct vectors from the set is orthogonal.  An orthogonal set in which every vector is normal is said to be orthonormal. It is an important fact that any orthogonal set of nonzero vectors is linearly independent.

(ix)  Utility of an orthonormal basis in finding coordinates: If B = {b1 , . . . , bn } is an orthonormal

basis for an inner product space V then, for all v ∈ V ,

v  =   ⟨v, b1 ⟩b1 + ⟨v, b2 ⟩b2 + ... + ⟨v, bn ⟩ bn  .

that is, [v]B  = (⟨v, b1 ⟩ , ⟨v, b2 ⟩ , . . . , ⟨v, bn ⟩)T .

Tutorial Exercises:

1.   Let u = (1, −3, 2), v = (1, 1, 0), w = (2, 2, −4). Find

(a)   −2w

(d)   u + v

(b)   ∥ − 2w∥

(e)   ∥u + v∥

(c)   w  (f)  ∥u∥ + ∥v∥

Verify that the triangle inequality is holding in parts (e) and (f).

2.   Let u = (2, −1, 1) and v = (1, 1, 2). Find u · v and the angle θ between u and v.

3.   Let P0 (0, 0, 0), P1 (1, 1, 0), P2 (1, 0, 1), P3 (0, 1, 1) be the vertices of a tetrahedron in R3 .

(a) Verify that the tetrahedron is regular (all faces are equilateral triangles).

(b) Find the angle θ betwen two rays joining the centre to two vertices (the “bond angle”

of a methane molecule).

4.   Use the dot product to verify that the angle inscribed in a semicircle is a right angle.

5.   Let u = (2, 0, −1, 3) and v = (5, 4, 7, −1). Find ∥u∥ , ∥v∥ , ∥u + v∥ , u · v and the angle θ between u and v. Verify (as expected) that ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ . Verify, however, that

∥u + v∥2   =  ∥u∥2 + ∥v∥2  .

Is this to be expected? (See Exercise 13 below.)

6.     (a) Write down a vector v, as a linear combination of i and j, pointing in the direction of the line y = 2x in the xy-plane.

(b) Find , the unit vector pointing in the direction of v.

(c) Write down the position vector u of the point (−1, 5) as a linear combination of i and j.

(d) Find projv u = (u · ), the projection of u in the direction of v.

(e) Now find the distance from the point (−1, 5) to the line y = 2x and the nearest

point on this line.

7.*   Let W be the plane defined by the equation

x + 2y − z  =  0 .

Let b1  = (  1^2 , 0, 1^2 ) and b2  = ( −  1^3 , 1^3 , 1^3 ).

(a)  Check that {b1 , b2 } is an orthonormal basis for the subspace W . (b) Find projW v = ⟨v, b1 ⟩b1 + ⟨v, b2 ⟩b2   where v = (4, 2, −5).

(c) Find the distance from the point (4, 2, −5) to W and the nearest point on W .

8.*   Let u, v ∈ Rn  where u  0.

u · v

∥u∥2

(b) Deduce that  |u · v| = ∥u∥∥v∥  if and only if v is a scalar multiple of u.