(iv)  Matrix of a linear transformation with respect to choice of bases: Let T : V → W be a linear

transformation, and let B = {b1 , . . . , bn } and D = {d1 , . . . , dm } be ordered bases for V and W respectively. Define the matrix of T with respect to B and D to be

[T]D(B)   =  [ [T(b1 )]D     ...   [T(bn )]D  ] ,

by which we mean that we write down, in order, columns of coordinates, in W with respect to D, of the images under T of successive basis elements from B . Note that [T]D(B) is an m × n matrix. It follows from the definitions that, for all v ∈ V ,

[T(v)]D   =  [T]D(B) [v]B  ,

enabling the effect of the linear transformation T to be described in terms of matrix mul- tiplication between coordinates of vectors. If S : U → V is another linear transformation, where A is an ordered basis for U, so that T 。S : U → W is also a linear transformation, then

[T 。S]D(A)   =  [T]D(B)[S]B(A)  .

(v) The identity linear operator:  Given any vector space V the mapping id = idV   : V → V where id(v) = v, fixing all vectors in V , is called the identity linear transformation or identity operator.  If V is n-dimensional and B is any basis for V then [id]B(B)   = In , the n × n identity matrix. If T : V → W is a linear transformations then

T 。idV   =  T       and       idW 。T  =  T .

Further, if T is a vector space isomorphism, so that T is invertible and T −1  : W → V , then

T −1 。T  =  idV           and       T 。T −1   =  idW  .

(vi)  Change of basis matrix: Let B and D be any bases for an n-dimensional vector space V .

The matrix [id]D(B)  is called a change of basis matrix and has the effect of converting coor- dinates of vectors with respect to B into coordinates with respect to D, in the following sense, for any vector v ∈ V :

[id]D(B) [v]B   =  [v]D  .

Furthermore, the change of basis matrices [id]D(B)  and [id]B(D)  are mutually inverse, that is, [id]D(B) [id]B(D)   =  [id]B(D) [id]D(B)   =  In  .

Tutorial Exercises:

1. Find the exponential matrix etA  where A is each of the following matrices:

(a) ]           (b)   [1(1)   1(1) ]              (c)   [2(1)   2(3) ]              (d) ]

2. Solve the following systems of differential equations, where x = x(t) and y = y(t) are differentiable functions of a real variable t, with the same initial conditions

x(0) = 1    and   y(0) = 2

in each case:

3. Let B = {(1, 0), (0, 1)} be the standard basis for R2 . Put D  =  {(1, 1), (−1, 0)} .

Explain why D is a basis for R2  and then write down the following matrices: A  =  [id]B(B) ,  C  =  [id]D(D)      and   E  =  [id]B(D) .

Now find E −1  in the usual way and check that indeed

E −1   =   [ [(1, 0)]D     [(0, 1)]D  ]  =  [id]D(B)  .

4. Let f,g : R2  → R2  be linear transformations given by the following rules:    f(x,y)  =  (x + 2y,3x − 4y)       and       g(x,y) = (3x − y,2y) .

(a)   Find each of the following, by direct calculation, where B and D are the bases for

R2  in the previous exercise:

[f]B(B) ,    [f]D(D) ,    [g]B(B) ,    [g]D(D)  .

(If you have done this correctly, you should have produced a diagonal matrix repre- sentation for g .)

(b)   Check, as the theory predicts, that the following equations hold:

[f]D(D)   =  [id]D(B)[f]B(B)[id]B(D)                 and           [g]D(D)   =  [id]D(B)[g]B(B)[id]B(D)  .

(c)* Find rules for linear operators h,k : R2  → R2 such that [h]B(B)  = [f]B(D)  and [k]B(B)  = [f]D(B)  .

5.*  Working over R, let B  =  {1,x,x2 } be the standard basis for the vector space P2   of

polynomials of degree at most 2. Put

D  =  {1 + x2 ,x + 2x2 , 1 + 2x + 3x2 } .

Explain why D is a basis for P2  and then write down the matrix E = [id]B(D) .  Now find E −1  in the usual way and check that indeed

E −1   =   [ [1]D     [x]D     [x2]D  ]  =  [id]D(B)  .

x\  =   −x

(a)       y\   =              2y                                  (b)

z\   =                        3z

x\  =     x   +      y   +   2z

(c)       y\  =                −y

z\  =   2x   +      y   +     z

9. Consider the real matrix M = ].

x\  =              y

y\   =   x   +     z\   =   x   +   y

−   z

z