1.  [8 Marks]  Let (Sn , n = 0, 1, 2, . . . ) be a branching process with S0  = 1 and with offspring distribution X ~ Bin(2, p) for some p ∈ (0, 1); that is,

P(X = x) = ╱  ←x(2)px (1 - p)2 −x ,        x = 0, 1, 2 .

(a) Determine the probability generating function (pgf) of X, namely r(z) = 匝zX  for z ∈ [0, 1].

(b) Determine explicit expressions for the mean and variance of Sn

as a function of p, and determine through p when the process is sub-critical, critical, and super-critical.

(c) Determine the probability of ultimate extinction, denoted by η , as a function of p.

2.  [8 Marks]  Let X = (Xn , n = 0, 1, . . . ) be a Markov chain with state- space E = n1, 2, 3}, initial distribution 一(0)  = (1, 0, 0), and one-step

(a) Draw the transition diagram for this Markov chain.

(b) Find the three distinct eigenvalues λ 1 , λ2 , λ3  of P.

(c) Determine matrices R1 , R2 , R3  so that Pn  =     i(3)=1 λi(n)Ri , for

n = 0, 1, . . . .

(d)  Calculate the probability that X3  = 1.

(e) Find the unique stationary (and limiting) distribution of the chain.

3.  [8 Marks]  An ant is in search of food, which appears on the floor ac- cording to a homogeneous spatial Poisson process with rate of 2 points per square meter.

(a) What is the probability that the ant finds n items of food within

a radius of r meters?

(b) What is the expected number and variance of the number of items

of food found by the ant within a radius of r meters?

(c) For 0 π s π r , m ∈ n0, 1, . . . , n}, and n ∈ n0, 1, 2, . . . }, determine the probability of m items of food being within radius s, given n items of food are within radius r .   Identify this as a known distribution.

4.  [8 Marks]  Consider n machines maintained by a single machine repair robot.   Each machine has an exponentially distributed lifetime with mean 2 weeks (i.e., before it fails).  The machine repair robot begins work immediately when a machine fails, and works in the order that the machines have failed in the case of multiple machines failing. The ma- chine repair robot takes an exponentially distributed amount of time, with mean 2 days, to repair any machine.  Initially, all the machines are working.

(a) Formulate a continuous-time Markov chain model for the problem

which counts the number of failed machines, specifying the state space E, the initial distribution 一(0) , and the Q-matrix Q.

(b) Draw the corresponding transition rate diagram.

(c) What is the long-run probability that no machines are under re- pair?

(d)  Suppose one machine has failed and is under repair. What is the probability that the machine repair robot fixes the machine before another machine fails?

5.  [8 Marks]   Consider an abstract probability space (Ω , e, P).  Answer the following questions.

(a) Let A and B be two disjoint subsets of Ω . Write down the smallest

σ-algebra containing A and B .

(b) Let X1 , X2 , . . . be independent random variables on (Ω , e, P) with Xn  ~ Ber(1/n). Does Xn a-s-.. 0 as n - o? Prove or disprove this.

(c) Let e1 , e2 , . . . , en  be a collection of σ-algebras on Ω .  Show that the collection r defined by r  =  gk(n)=1ek   is also a σ-algebra of subsets of Ω .