1.  (10 points)  Single Select Multiple Choice Questions. Write your answer in the box.

(a)  (2 points)   C

long words arises from the potential that a borrower or counterparty will fail to perform on an obligation.

A.  Operational risk     B. Market risk     C.  Credit risk

(b)  (2 points)   A

Which one of the following statements is correct?

A. Maximum likelihood methods are usually used to estimate parameters in GARCH(1,1) models from historical data.

B. For 2 random variables, independence is the same as 0 correlation.

C. An EWMA model gives equal weights to the square of historical returns.

(c)  (2 points)   A

The market portfolio consists of two stocks, stock 1 and stock 2, with respective betas 0.5 and -1.5. What are the weights of stock 1 and stock 2? (Hint: The market portfolio has a beta of 1.)

A.  1.25; -0.25                                                  B. 0.75; 0.25

C. -1.25; 0.25                                                  D. 0.25; 0.75

(d)  (2 points)   D

Which statement regarding Value at Risk (VaR) is correct?

A. VaR is always subadditive.

B. It is impossible to compute VaR for discrete distributions.

C. VaR is the same as sample standard deviation.

D. VaR is coherent for elliptical distributions.

(e)  (2 points)   B

An investor has a portfolio which consists of two stocks that have normally dis- tributed returns.   Choose the correct statement about the VaR of the portfolio payoff compared to the VaRs of the individual stock positions.

A. The portfolio’s VaR is always greater than or equal to the sum of the individual VaRs of the two stocks.

B. The portfolio’s VaR is always smaller than or equal to the sum of the individual VaRs of the two stocks.

C. The portfolio’s VaR is always smaller than or equal to the sum of the individual VaRs of the two stocks only when the correlation is positive.

D. The portfolio’s VaR is always greater than or equal to the sum of the individual VaRs of the two stocks only when the correlation is negative.

2.  (20 points) A firm produces a unit of gold a year from today.  The gold price risk is diversifiable, and the price of gold next year is either $480 or $200, each with probability 0.5.  Assume that the riskless rate is r = 6% and bankruptcy costs are $30 per unit of gold. The firm pays taxes at a rate of 40% on any cash owes in excess of $300. Interest payments on debt are tax deductible.

(a)  (6 points)  Suppose the firm hedges the gold price risk by entering into a forward

contract and chooses the optimal amount of debt. Then

. Would the firm choose to issue safe debt or risky debt, assuming that lenders

determine the yield on the debt?

. What is the firm value given that choice?

Answer:

The hedged firm has certain future cash flow, thus it can only issue safe debt. The future expected cash flow is 480 × 0.5 + 200 × 0.5 = $340.

The face value F of safe debt issued must satisfy

1.06F + 0.4(340 − 300 − 0.06F) ≤ 340

Equation says that the hedged firm’s  debt payments(1.06F)  and tax payments (0.4(340 − 300 − 0.06F)) equal the cash flow of $340.

Then we can solve for F = $312.74.

Therefore, the hedged firm’s tax payment is 0.4(340−300−0.06×312.74) = $8.494, and the firm value is

 (340 − 8.494) = $312.74

Note that we should expect that the firm value is the same as the optimal face value of safe debt.

(b)  (3 points) If the hedged firm issue $250 safe debt, then what is the firm value?

Answer:

The tax payment is 0.4(340 − 300 − 0.06 × 250) = $10.

Therefore, the firm value is

 (340 − 10) = $311.32

Continued Question 1:

(c)  (3 points) If the firm does not hedge the gold price risk and issues the optimal

amount of safe debt, then what is the firm value?

Answer:

The face value F of safe debt issued must satisfy

1.06F ≤ 200

Because in low cash flow state, there is no tax payment. Then the maximum F is 200/1.06 = $188.68

In high cash flow state, the tax payment is 0.4(480 − 300 − 0.06 × 188.68) = $67.47. Therefore, the expected tax payment is 0.5 × 0 + 0.5 × 67.47 = $33.74

The firm value is

 (340 − 33.74) = $288.92

(d)  (3 points) If the firm issues $250 of risky debt, find the yield on the risky debt and

the value of the unhedged firm.

Answer:

The yield on the risky debt, x, must be high enought that the expected return of the debtholders equals the riskless rate. Therefore,

0.5(200 − 30) + 0.5(250(1 + x)) = 250(1.06)

Then we can solve for x = 0.44.

In low cash flow state, there is no tax payment, the future cash flow is 200 − 30 = $170.

In high cash flow state, the tax payment is 0.4(480 − 300 − 250 × 0.44) = $28, the future cash flow is 480 − 28 = $452.

Therefore, the expected future cash flow is (0.5)(170) + (0.5)(452) = 311, the firm

value is

 = $293.40

Continued Question 1:

(e)  (5 points) Now suppose that the unhedged firm chooses the face value of risky debt

optimally. Find the face value of debt, the yield on the risky debt, and the value of the unhedged firm.

Answer:

The optimal face value F of debt issued and the corresponding yield on the debt x must satisfy the following two questions.

First, in high cash flow state, the future cash flow must cover all payments (debt payments and tax payments).

(1 + x)F + 0.4(480 − 300 − xF) = 480                              (1)

Second, the yield on the debt,x, must be high enough that the expected return of the debtholders equals the riskless rate.

(2)

Based on equation (1) and (2), we can get the x and F .

x = 0.5627         F = 305.02

In low cash flow state, there is no tax payment, the future cash flow is 200 − 30 = $170.

In high cash flow state, the tax payment is 0.4(480−300−305.02×0.5627) = $3.35, the future cash flow is 480 − 3.35 = $476.65.

Therefore, the expected future cash flow is (0.5)(170) + (0.5)(476.65) = 323.325,

the firm value is

 = $305.02

Note that we should expect that the firm value is the same as the optimal face value of debt.

Continued Question 2:

(c)  (10 points) A risk manager decides to backtest this 5% daily VaR model. Using a sample of 2,000 days, she produces the following statistics:

On 104 days, the loss was bigger than the daily VaR (a ”violation”);

On 1806 days, there was no violation the next day after no violation on that day; On 90 days, there was a violation the next day after no violation on that day;       On 88 days, there was no violation the next day after a violation on that day;       On 16 days, there was another violation the next day after a violation on that day. What is the value of the test statistic for independence of VaR violations?

Answer:

In this problem T = 2000,N = 104, therefore, π0  = 1 −  = 0.948 and π 1  =  = 0.052. Then N00  = 1806,N01  = 90,N10  = 88 and N11  = 16, thus

π00  = π01  = π 10  =

π 11  =

N00

N10 + N11

= 1806/(1806 + 90) = 0.9525

= 90/(1806 + 90) = 0.0475

= 88/(88 + 16) = 0.8462

= 16/(88 + 16) = 0.1538

We test the independence of VaR violations using the following formula

LRI  =2 · ln [ ()N00   · ( )N01   · ( )N10   ( )N11]

=15.52

4.  (20 points)  Suppose that two variables V1  and V2  have exponential distributions with λ parameters of 2.9 and 2.3, respectively.  The cumulative probability distribution for an exponential distribution is F(x) = 1 − e −λ北 .  Use a Gaussian copula to define the correlation structure between V1  and V2 .

(a)  (5 points) What is the probability that V1  ≤ 0.1 and what is the probability that

V2  ≤ 1?

Answer:

The probability that V1  ≤ 0.1 is

F(0.1) = 1 − e −2.9×0.1  = 0.2517

The probability that V2  ≤ 1 is

F(1) = 1 − e −2.3×1  = 0.8997

(b)  (5 points) With a copula correlation of 0.5, what is the probability that V1  ≤ 0.1

and V2  ≤ 1?

Answer:

Using the information we get from previous questions, we can get the following results via the Table 1 on formula sheet.

Φ − 1 (0.25) = −0.674

Φ − 1 (0.90) = 1.282

Use Table 4(ρ = 0.5), we can get

P(V1  ≤ 0.1,V2  ≤ 1) = M(−0.67, 1.28, 0.5) = 24.74%