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Fin 500Q –  Quantitative Risk Management

Homework #9 Solutions

1.  Use the transition matrix in the Excel sheet “ratings.xlsx” from the lecture to find the probability of a BBB bond having a BBB or higher rating in three years from today.

Answer The probability of a BBB bond having a BBB or higher rating in three years is 83.26%. See the spreadsheet “ratings HW.xlsx” .

2.  Consider a 5-year bond that pays a coupon of $4 at the end of each year, and a principal of $100 at the end of the 5 years. Let its current rating be BB. Using the forward rates and the transition matrix for BB bonds in the Excel sheet “ratings.xlsx” from the lecture, find the current bond price, the standard deviation of the bond value one year from now, and the VaR5%  range at a 1-year horizon.

Answer: The current bond value is 96.77. If next year the bond is rated B, the total value including the coupon payment will be 89.36. The cumulative probability of being at or below B is 10.9%. If the bond is rated CCC, its total value will be 78.26. The cumulative probability of being at or below CCC is 2.06%. Therefore the VaR5%  is in the range between a loss of 7.40 and a loss of 18.51. The standard deviation of next period’s bond value is 6.47. See the spreadsheet “ratings HW.xlsx” .

3.  Consider two defaultable bonds of two companies.  The asset values of these companies are described by the Black-Scholes model.   Firm  1 has value of assets  V1   =  200,  face value of debt F1   =  150, debt maturity T1   =  1,  and annual asset return volatility  σ 1   =  0.25.   Firm 2 has the parameters V2  = 300, F2  = 200, T2  = 1.5, σ2  = 0.20. Let the riskless rate be RF  = 5% per year, and the correlation between the two firms’ asset returns is 0.2. Neither firm pays any dividends.

(a)  Using the options approach, find the spread on each bond.

Answer: Use the fact that the value of the defaultable bond is D = F．e_RF .T  _ P , where P is 

the value of the put option that the debtholders extend to the equityholders with strike price F1 . For firm 1, we find

P1  = F1 e_RF .T1．Φ(_d2 ) _ V1．Φ(_d1 ) = 1.72,    D1  = F1．e_RF .T1   _ P1  = 140.96,

and the spread on the debt is

_ ．ln(D1 /F1 ) _ RF  = 0.0121 = 1.21%.

For firm 2, we find

P2  = F2 e_RF .T2．Φ(_d2 ) _ V2．Φ(_d1 ) = 0.54,    D2  = F2．e_RF .T2   _ P2  = 185.01,

and the spread on the debt is

_ ．ln(D2 /F2 ) _ RF  = 0.0019 = 0.19%.

(b)  Find the one-day Delta VaR5%  for a portfolio of one unit of each of the defaultable bonds with the given parameters and face values F1  and F2 . Assume that average daily changes in values are approximately zero.

Answer: Note that the the first component of D1  and D2  is fixed and the risk comes from price changes in P1  and P2 , respectively. To calculate the VaR of the portfolio, we use the fact that a put option has exposure to ∆P  units of the asset. We find that ∆P,1  = _0.0700, ∆P,2  = _0.0186. Because the defaultable bond is short the put option, the investor has exposure to _∆P,1V1  =

0.0700．200 = 14.0 dollars of asset 1 and _∆P,2V2  = 0.0186．300 = 5.6 dollars of asset 2.  The

14.02．0.252 + 5.62．0.22 + 2．0.2．14.0．5.6．0.25．0.2 = 15.06.

Now the 1-day VaR is given by

VaR0 .05  = 1.645．^15.06． = 0.4021.