1   ARMA models

1.  Show that the two MA(1) processes:

Xt  = Zt + Zt - 1 ;  Zt  ~ WN ╱0; 2、

Yt  = Z~t + Z~t - 1 ;  Z~t  ~ WN ╱0; 2  2、;

where 0 < || < 1, have the same autocovariance function.

2.  Let {Yt } be an AR(1) plus noise time series defined by:

Yt  = Xt + Wt ;

where Wt  ~ WN ╱0; W(2)、and {Xt } is the AR(1) process:

Xt  = Xt - 1 + Zt ;  Zt  ~ WN ╱0; Z(2)、;

and 匝 [Zt Ws] = 0 for all s and t.

● Show that {Yt } is stationary and find its autocovariance function.

● Show that the time series {Ut  = Yt 一 Yt - 1 } is 1-correlated.

● Conclude that {Yt } is an ARMA(1,1) process and express the three parameters of this model in terms of  ,  W(2)  and  Z(2) .

3.  Consider an ARMA(1,1) model defined by the equations:

Xt  = Xt - 1 + Zt - 1 + Zt ;

where {Zt } ~ WN ╱0; 2、and || < 1.

● Define t  = Zt - 1 + Zt  and show that

o

Xt  =       j t -j :

j=0

● Obtain an MA(&) representation:

o

Xt  =         j Zt -j ;

j=0

where   0  = 1 and   j  = j - 1 ( + ) for j ≥ 1.

● Show that 匝 [Xt] = 0 for all t.

●  Show that

X (0) =  2  1 +  + ( + )