1.  Consider the planar system

x˙   =   x(a 一 bx 一 cy)                                               (1) y˙   =   y(d 一 ex 一 fy)                                              (2)

where a, b, c, d, e > 0 and fb > ce.  Given that there exists a unique interior steady state (x* , y* ) find a Lyapunov function V of the form

V (x, y) = α(x 一 x* )2 + β(x 一 x* )(y 一 y* ) + γ(y 一 y* )2 .

2.  Consider the chemostat model

S˙   =   α(S〇  一 S) 一

x˙   =   x ╱  一 α、

where S〇 , α, a, m > 0 are constants.

(a)  Can the function Φ = S + x 一 S〇  be a Lyapunov function?

(b) Rewrite the system using variables Φ and x.

(c)  Sketch the phase protrait for the new coordinates (Φ, x)

3.  Consider the generalized Lotka - Volterra system

x˙   =   x(1 一 x 一 αy 一 βz)

y˙   =   y(1 一 βx 一 y 一 αz)

z˙   =   z(1 一 αx 一 βy 一 z)

where α, β > 0 and α + β = 2.

(a) Write the interaction matrix.  What kind of interactions are taking place in this system?

(b) Let

V (x, y, z) = x + y + z,

Obtain a differential equation for V and show that V (x(t), y(t)) → 1 as t → &.