Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Assignment 2

MATH1021: Calculus of one variable

Semester 1, 2023

1.  Using the definition of derivative, show that the function

f (x) = ,x(x)e2

is differentiable at x = 0 and find f\ (0).

2.  Consider

f (x) = ax3 + x + 1,

where a is a real-valued parameter. Find all possible values of a such that on the interval [−1, 1], f has global maximum equal to 4/3 and global minimum equal to 2/3.

3.  Let

1 arctan(x)

＋             x

(a)  Find the  Taylor  polynomial  of order  2,  P2 (x),  about  x  =  0  for the  function

arctan(x).

(b)  Use Lagrange’s formula for the remainder R2 (x) = arctan(x) − P2 (x) to show that

│  ＋1 dx −   ＋1 dx │ ≤

(c)  Hence calculate I with an error up to  . 

4.  Let α > 0 be a (fixed) real number.

n

(a)  Using lower and upper Riemann sums for       x  dx, prove that for any integera

＋

n ≥ 1, we have

n

1a + 2a + . . . + (n − 1)a  ≤       xa dx ≤ 1a + 2a + . . . + na .

＋

(b)  Using part (a), or otherwise, prove that

1a + 2a + . . . + na            1   

n人o                 naα1                        α + 1 .