NOTE: Please do not write your Önal answers in your R-script. You should summarise the outputs (e.g., plots) and include your discussion and Önal answers in the written response Öle. Both your written response Öle and R-script (i.e., the .R source Öle, not the screenshot) need to be submitted.

[Total:  30 marks (+ bonus)] Carol is undergoing a series of training at the pricing team in Goldman Sachs.  She is studying a simple Önancial market consisting of a risk-free money account and a stock called BOB. Here is the single-period model under the risk-neutral probability measure Q:

● Time length of the period is A.

● In the risk-free market account, a dollar at time 0 will grow into a = erA  at time A, where r is the continuously compounded risk-free interest rate.

● At time 0, the share price is S0 .  At time A, the share price rises to SA  = S0u with probability q, and drops to SA  = S0 d with probability 1 一 q .

1.  [2 marks] Write down the risk-neutral probability distribution of SA , the share price at time A. Express the probability mass function in terms of u;d and q .

2.  [3 marks] Show that q =  .  [Hint: the discounted share price is a martingale under Q.]

3.  [3 marks] Find Var(SA ), the variance of the share price at time A?  Express your answer in terms of a, u and d.

4.  [3 marks] Let u = eg ^A  and d =  = e-g ^A .  Show that Var(SA ) 二 S0(2)a A2  for small

A.  [Hint:  e北  二 1 + x if x is close to zero.  The Önal result is obtained by dropping terms involving higher power of A]

Carol wants to construct a binomial tree model for the price of BOB traded in an n- period market, where n is a positive integer. Here is the binomial tree model under Q (for i = 1;:::;n):

● Time length of a period is A.

● In the risk-free market account, a dollar at time (i 一 1)A will grow into a = erA  at time iA, where r is the continuously compounded risk-free interest rate, which remains constant over time.

● At time (i 一 1)A , the share price starts at S(i-1)A . At time iA, the share price rises to S(i-1)Au with probability q, or drops to S(i-1)A d with probability 1 一 q . The probability q is as given in question 2, and u and d are as given in question 4 (i.e. u = eg^A  and d =  = e-g^A). Assume that the price changes are independent across all n periods.

5.  [3 marks] Let j denote the number of times by which the share price goes up over n periods. What is the probability distribution of j? For a given j, show that the share price at the end of period n is given by

SnA  = S0uj dn-j :

6.  [2 marks] Consider a European call option written on a share of BOB at time 0 with strike price X and time-to-maturity r = nA. Show that its price is given by

C0(bin)  = EQ [e-rnA max(SnA 一 X;0)]:                                    (1)

Suppose we are at time 0, and the current share price of BOB is S0  = 50. Suppose r = 0:02 and a = 0:3.  Write an R code that simulates 5000 sample paths of share price using the above binomial tree model with the following speciÖcations:  n = 63, A = 1=252.1    While simulating the random numbers, set the random seed to be the last 5 digits of your SID.2 [Hint:  you may use rbinom(5000,n,p)to generate 5000 random integers from a binomial distribution with parameters n and p.]

7.  [3 marks] Using your code, compute the time-0 price of an at-the-money European call option written on a share of BOB at time 0 with strike price X = S0  = 50 and expiring in 63 days (i.e., r = 63A). Correct your answer to 3 decimal places.

8.  [3 marks] Compute analytically the time-0 price of the same call option using the Black-Scholes formula instead.  Correct your answer to 3 decimal places.  Compare it

with your answer in question 7.

Carol has recently moved to the product design team.   She is currently designing an exotic option written on a share of BOB at time 0. This option will give the following payo§ as a function of the share price Sr  at time r

( X1  一 Sr                  for Sr  < X1 ;

g(Sr ) =  1        0               for X1  ≤ Sr  ≤ X2 ;

(  Sr  一 X2                    for Sr  > X2 ;

where X1  < X2 .  Carol named this exotic option as ìáy-with-BOB,îafter noting that the graph of the payo§ function looks like the wings of an aeroplane.