1.   Suppose that in 2023, 90% of the Australian population eats meat, 6% is vegetarian, and 4% is vegan. Suppose further that each year the following evolution occurs:

1.  90% of meat eaters remain as such, while 5% become vegetarian and 5% become vegan;

2.  80% of vegetarians remain as such, while 10% start eating meat and 10% become vegan; and

3.  60% of vegans remain as such, while 30% become vegetarian and 10% start eating meat.

(a)  Write a stochastic matrix M that describes the evolution of the proportion of meat

eaters, vegetarians, and vegans in Australia.

(b)  What percentage of Australians can we expect to be vegan in 2024?

(c)  Find the steady state probability vector of M .

(d)  If the above stated trends continue,  what percentage of Australians should we expect to be either vegan or vegetarian in 2075, to a good approximation?

2.  For each of the following statements, indicate whether they are true or false. If a statement is true, prove it. If a statement is false, give a counterexample.

(a)  Every abelian group is cyclic.

(b)  There is no 10 × 7 matrix of rank 8.

(c)  Every matrix of nullity 0 is invertible.

(d)  Let d be a prime number. Then Zp has d − 1 generators as a group under addition.

3.   Throughout this exercise,  i  =  ^− 1  ∈ C.   Recall that  if X  =  a + qi  ∈ C  is  a  complex

number where a,q ∈ R, then X  = a − qi ∈ C is called the  complex  conjugate  of X .  You

X + w = X + w ,     Xw = X · w ,

and that X = X if and only if X ∈ R. Consider the following set of complex 2 × 2 matrices:

H = {[w(X)    ] : w,X ∈ C} .