Part 1 (18 pts)

True or False (6pts).   Evaluate whether the following statements are true of false.

1.  2pts (True / False) A steep slope of the yield curve implies that investors anticipate the interest rates to rise quickly.

Solution. This statement is false.   Slope of the yield curve is determined by both expectations of future rates and risk premium.  The slope could be steep due to high risk premium even when investors expect rates to stay flat for a long time.               

2.  2pts (True / False) Because the HL model generates negative interest rates it is a bad model for pricing forward rate agreements when the current interest rates are low.

Solution. This statement is False. HL model accurately prices portfolios of ZCB bonds, hence, it accurately prices FRAs.  The problems with negative rates only arise with “non-linear securities” such as caps, floors, swaptions, etc.  

 3.  2pts  (True  / False) A Principal  Only  (PO)  CMO has a higher effective duration compared to a Pass Through MBS with the same characteristics (WAC, WAM, CPR).

Solution. This statement in true. A Pass Through MBS consists of a PO CMO and an IO CMO. Since the effective duration of the IO CMO is negative, the effective duration of the PO CMO is higher than the effective duration of the Pass Through MBS.     

4.  2pts (True / False) The benefit of the CIR model over the Vasicek model is that the interest rates in the CIR model are mean-reverting.

Solution. This statement in false. Both Vasicek and CIR models have mean-reverting interest rates. The benefit of the CIR lies in the fact that it does not generate negative

interest rates.

5.  2pts (True / False) Two-curve pricing is used today because lending and borrowing at LIBOR rate has become riskier after the Financial Crisis of 08-09.

Solution. This statement is false.  Two-curve pricing is used today because trading derivatives has become safer (due to clearing and collateralization) after the Financial

Crisis of 08-09.

Multiple Choice (6pts).   Answer the following multiple choice questions.  Explain your choice in 1-2 sentences. You will receive 50% points for the correct answer and 50% points for the correct explanation.

1.  2pts Suppose you decide to hedge a long position in a 2 year treasury note with a short position in a 10 year treasury bond. The resulting portfolio has a

(a) positive slope duration

(b) zero slope duration

(c) negative slope duration

Explain why.

Solution. The correct answer is (c).  When the slope of the yield curve goes up, the 10y rate increases and the 2y rate decreases.  These movements in the interest rates increase the value of the long side of the portfolio and decrease the value of the short side of the portfolio.  Hence, the overall value of the portfolio goes up.  Higher value associated with a higher slope implies a negative slope duration.   

2.  2pts A putable bond gives investors a right to demand immediate payment of the face value of the bond (instead of later payment with coupons). As a result a putable bond has a price that is

(a) higher

(b) equal

(c) lower

than the price of a similar non-putable bond. Explain why.

Solution. The correct answer is (a).  This option is valuable to the investors, so they

are willing to pay a higher price for it.

3.  2pts Suppose you own an Agency Pass Through MBS and would like to duration hedge your position by buying swaps.  The overall convexity of your duration hedged position (MBS plus newly bought swaps) is

(a) positive

(b) zero

(c) negative

Explain why.

Solution. The correct answer is (c). MBS has negative convexity. Recall that a swap is a FRN minus a fixed coupon paying bond, so it has negative “dollar convexity” . As a result adding swaps to your portfolio further decreases its convexity (i.e., makes the

convexity even more negative).

4.  2pts Due to the onset of the COVID recession the mortgage prepayments in 2020 were

(a) higher

(b) roughly the same

(c) lower

than mortgage prepayments in 2019. Explain why.

Solution. The correct answer is (a). Interest rates fell sharply in 2020, which triggered

a huge wave of

refinancing.

5.  2pts Suppose that you have calibrated both HL and BDT models to the yield curve and are trying to price a forward contract on a 5 year treasury note (Note: a forward contract is an obligation to buy a 5y treasury not at a predetermined date in the future at a predetermined price). Which of the two models will assign a higher price to this forward contract?

(a) HL price will be higher

(b) HL and BDT prices will be equal

(c) BDT price will be higher

Explain why.

Solution. The correct answer is (b).  A forward contract, similar to FRA and swaps can be replicated with a portfolio of ZCBs. Hence, both models will price this security perfectly and produce the same answer.

Short Answer (6pts).   Answer the following questions.

1.  2pts Explain why modeling burnout as a function of the remaining principal (or as a function of the lowest mortgage rate since the pool origination) is better than modeling it as a function of time.

Solution. Burnout tries to reflect the fact the homeowners in the pool have different sensitivity or different constraints when it comes to refinancing.  If you only model burnout as a function of time, then you miss the information contained in the observed behavior of borrowers.  For example, when many people refinance in a given month due to low interest rates, the remaining people in the pool are different (by revealed preference), and hence are probably less likely to refinance in the future.                  

2.  2pts What is the sign of convexity of the Pass Through MBS? Explain.

Solution. A Pass Through MBS has negative convexity. This is because the homeown- ers have a prepayment option that has a positive convexity.  The buyers of the MBS

have that prepayment option with a minus sign (i.e., they have negative convexity).   

3.  2pts Explain why a duration and convexity hedged portfolio can change in value when interest rates move.

Solution. Duration and convexity only hedge against parallel shifts of the yield curve. Changes in slope or curvature of the yield curve will affect the value of the duration

and

convexity

hedged

portfolio.

4.  2pts Suppose that you are pricing a swaption in 1985 when the 1y treasury rate was about 10%. Which interest rate model would you use (HL/BDT and simple/full) and why?

Solution. Since the interest rates were so already high, the BDT would have predicted unreasonable high rates going forward.  Thus, the HL model would have been used. The full HL model would have been better at pricing the swaption relative to the simple HL model, since it is calibrated to the prices of caps and can use these swap to

build a better

replicating portfolio.

5.  2pts Explain why arbitraging overpricing of callable bonds is more risky than arbi- traging underpricing of callable bonds.

Solution. To arbitrage overpricing of the callable bond you would need to short a bond (sell high) and buy a replicating portfolio.  This poses additional risk, since the bond can be called suboptimally.  Suboptimal exercise of the call option implies that the short part of your portfolio (callable bond) can unexpectedly increase in value. Such sudden change reduces the arbitrage gains and might even generate losses for the arbitrage trade.

To arbitrage underpricing you need to buy the callable bond and any unexpected increase in its value will only improve your arbitrage trade.                                       

Part 2.1 (13 pts)

Part 2.1 (13 pts)

Suppose that the Treasury yield curve today looks like (recall that Treasury rates are semi-annually compounded)

1.  3pts Suppose you have a  (default-free) 2 year leveraged inverse floater with semi- annual coupon rate c2 (t) = 40% - 3 .r2 (t - 0.5, t) and a face value of $1 mln. Construct a replicating portfolio using FRNs and ZCBs.

Solution. First, let’s replicate this portfolio using simple securities

T                            6mo                1y              18mo                  2y             Portfolio                               + 1 

2y FRN with f.v. -3mln      -3       -3       -3       -3  - 3

2y ZCB with f.v. 4.2mln            -                  -                  -                    4.2

1.5y ZCB with f.v. 0.2mln          -                  -                 0.2                    -

1y ZCB with f.v. 0.2mln            -                 0.2                 -                     -

0.5 ZCB with f.v. 0.2mln          0.2                 -                  -                     -

2. 4pts What is the price of this portfolio and its duration and convexity?

Solution. The price of the portfolio is

-3 + 4.2 . 0.942 + 0.2 . 0.963 + 0.2 . 0.977 + 0.2 . 0.990 = 1.5424mln

Duration of this portfolio is

D =                                                                                                                       s 4.5

Convexity of this portfolio is

C =                                                                                                                               s 10.2

3.  6pts Suppose that you want to duration and convexity hedge the inverse floater (from question  1) using a 2 year swap  (with semi-annual payments) and a  1 year ZCB. Compute your hedging positions (find X - the notional of the swap and Y - the face value of the ZCB). In your calculations you can assume that the current 2 year swap rate is approximately 3%.

Solution. A swap is a FRN minus a fixed coupon bond. The price of the FRN is par (1 for 1 face value) and the duration is 0.5 and convexity 0.25.  The price of the 3% fixed coupon paying bond is also par.

Duration is

Dfixed  = ┌  (B(0, 0.5) . 0.5 + B(0, 1) . 1 + B(0, 1.5) . 1.5 + B(0, 2) . 2) + 1 . B(0, 2) . 2] s 1.96

and convexity is

Cfixed  = ┌  (B(0, 0.5) . 0.52 + B(0, 1) . 12 + B(0, 1.5) . 1.52 + B(0, 2) . 22 ) + 1 . B(0, 2) . 22] s 3.88

For the 1 year ZCB the price is 0.977, and duration and convexity is simply 1.           So the duration of the portfolio with X notional of swap and Y face value of a ZCB is

D =  ╱ 1.54 . 4.5 + X . 0.5 - X . 1.96 + Y . 0.977 . 1、= 0

C =  ╱ 1.54 . 10.2 + X . 0.25 - X . 3.88 + Y . 0.977 . 1、= 0

Solving this gives

X =                                              s -4.05mln

And

Part 2.2 (6 pts)

On February 17 of 2004 you have fitted the Vasicek interest rate model to the Treasury yield curve and the estimated parameters are

σ = 3.17%       *  = 18.99%       γ *  = 5.83%.

These model parameters result in the following α and β coefficients of the Vasicek model

The overnight repo rate on that day was 1.04%.

1.  1pts What is the model predicted prices of the  1.5-year and 7.5-year zero-coupon bonds?

Solution. The prices of the ZCBs in the Vasicek model are given by B(t, T) = eα(t,T)_β(t,T).r(t)

where t = 0 and r(0) = 0.0104.

Plugging in the numbers gives

B(0, 1.5) = 0.97384

B(0, 7.5) = 0.75414

2.  1pts On that day the 1.5-year ZCB was traded significantly above the model predicted price, and the 7.5-year ZCB was traded very close to the model predicted price. Sup- pose that the model predicted price is correct and the market is mispricing the 1.5-year bond. What strategy can you use to exploit the mispricing of the 1.5-year ZCB while at the same time minimizing your interest rate risk exposure?  [No need to provide any calculations here, just explain the strategy in words.]

Solution. We need to short the 1.5y ZCB and buy the model implied replicating port- folio of the 1.5y ZCB. Since the 7.5y ZCB is priced correctly the replicating portfolio

can be based on it.

3.  2pts How can you replicate a fairly priced (according to the Vasicek model) 1.5-year ZCB with the 7.5-year ZCB and a position in cash?  Compute the quantity of 7.5- year ZCBs in your replicating portfolio and the cash position per one 1.5-year ZCB. Make sure to specify whether you need to borrow or invest the cash in the replicating portfolio.

Solution. We need to buy ∆ =  of the 7.5y ZCB per 1 of the 1.5y ZCB.

Since in the Vasicek model

?B

We need to buy

 s 0.30528

of the 7.5y ZCB.

The initial cash position is such that

B(0, 1.5) = ∆ . B(0, 7.5) + C(0)       C(0) s 0.74361

so we need to invest 0.74361 in the repo market to earn the repo rate overnight.

4.  2pts Suppose that the next day the price of the 7.5-year bond increased by 0.5% and now you need to hold 0.25 7.5-year ZCBs for every 1 1.5-year ZCB in your replicating portfolio. Compute your cash position after rebalancing the replicating portfolio.

Solution. The next day the price of the 7.5y is

0.75414 . 1.005 s 0.75791.

We need to downsize the position in the 7.5y bond from 0.30528 to 0.25, which generates a profit of

(0.30528 - 0.25) . 0.75791 s 0.04189.

New cash position is old cash + interest + profits from trading:

0.74361 . (1 + 1.04%/252) + 0.04189 s 0.78553

Part 2.3 (18 pts)

The continuously compounded risk-neutral tree of the calibrated BDT model is

r0  = 2.00%

r2,uu  = 4.50%

r1,u  = 2.50%

r2,ud  = r2,du  = 1.25%

r1,d  = 1.25%

r2,dd  = 0.25%

with risk-neutral probabilities moving up and down being 50% and the time interval between the period to be 6 months, i.e. ∆ = 0.5.

The current market price of a 1.5-year 2% coupon Treasury note is 100.1444.  And the ex-coupon (i.e, right after the coupon is paid) value of the this Treasury note in every node of the binomial tree as follows.

The value of the note in period i = 2 after the 2nd coupon payment has been made:

P2,uu  = e_4.5%.0.5  . (100 + 2/2) = 98.7529,

P2,ud  = e_1.25%.0.5  . (100 + 2/2) = 100.3707,

P2,dd  = e_0.25%.0.5  . (100 + 2/2) = 100.8738.

The value of the note in period i = 1 after the 1st coupon has been paid out

P1,u  = e_2.50%.0.5  . (2/2 + 0.5 . P2,uu + 0.5 . P2,ud) = 99.3126, P1,d  = e_1.25%.0.5  . (2/2 + 0.5 . P2,du + 0.5 . P2,dd) = 100.9891.

Suppose that a 1.5-year 2% coupon callable and putable Treasury note is also present in the market. This note can be called at a 0.25% premium (by the issuer) or put at a 0.25% discount (by the investors) and has a first call/put date in 6 months (i.e.  it can only be called in periods i = 1 and i = 2 after the corresponding coupon payment).

1.  3pts Is it optimal to call the note at i = 2? Provide calculations and explain.

Solution. Since this is the last opportunity to call the note, we only need to check whether the value of the straight note is above or below 100.25.

Call2,uu  = max(P2,uu - 100.25, 0) = 0.0

Call2,ud  = max(P2,ud - 100.25, 0) = 0.1207

Call2,dd  = max(P2,dd - 100.25, 0) = 0.6238.

So it’s optimal to call the note only in the ud and dd nodes.                                      

2.  3pts Is it optimal to put the note at i = 2? Provide calculations and explain.

Solution. Since this is the last opportunity to put the note, we only need to check whether the value of the non-putable note is above or below 99.75.

Put2,uu  = max(99.75 - P2,uu , 0) = 0.9971

Put2,ud  = max(99.75 - P2,ud , 0) = 0.0

Put2,dd  = max(99.75 - P2,dd , 0) = 0.0.

So it’s optimal to put the note only in the uu node. 

3. 4pts Is it optimal to call the note at i = 1? Provide calculations and explain.

Solution. Here we need to compute the payoff from calling the note to the expected value of waiting until i = 2.

Call1,u  = max[P1,u - 100.25, e_2.50%.0.5  . (0.5 . Call2,uu + 0.5 . Call2,ud)] = 0.0596,

Call1,d  = max[P1,d - 100.25, e_1.25%.0.5  . (0.5 . Call2,du + 0.5 . Call2,dd)] = 0.7391,

so it’s optimal wait in the 1, u node (since P1,u - 100.25 < 0 < Call1,u  ) node and call in the 1, d node (because P1,u - 100.25 = 0.7391 = Call1,d).

4. 4pts Is it optimal to put the note at i = 1? Provide calculations and explain.

Solution. Here we need to compute the payoff from putting the note to the expected value of waiting until i = 2.

Put1,u  = max[99.75 - P1,u, e_2.50%.0.5  . (0.5 . Put2,uu + 0.5 . Put2,ud) = 0.4924,

Put1,d  = max[99.75 - P1,d, e_1.25%.0.5  . (0.5 . Put2,du + 0.5 . Put2,dd) = 0,

so it’s optimal wait in the 1, u node (since 99.75 - P1,u  = 0.4374 < Put1,u  ) node and wait in the 1, d node as well.