Part 1 (18 pts)

True or False (6pts).   Evaluate whether the following statements are true of false.

1.  2pts (True / False) A steep slope of the yield curve implies that investors anticipate the interest rates to rise quickly.

Solution. This statement is false.   Slope of the yield curve is determined by both expectations of future rates and risk premium.  The slope could be steep due to high risk premium even when investors expect rates to stay flat for a long time.               

2.  2pts (True / False) Because the HL model generates negative interest rates it is a bad model for pricing forward rate agreements when the current interest rates are low.

Solution. This statement is False. HL model accurately prices portfolios of ZCB bonds, hence, it accurately prices FRAs.  The problems with negative rates only arise with “non-linear securities” such as caps, floors, swaptions, etc.

 3.  2pts  (True  / False) A Principal  Only  (PO)  CMO has a higher effective duration compared to a Pass Through MBS with the same characteristics (WAC, WAM, CPR).

Solution. This statement in true. A Pass Through MBS consists of a PO CMO and an IO CMO. Since the effective duration of the IO CMO is negative, the effective duration of the PO CMO is higher than the effective duration of the Pass Through MBS.     

4.  2pts (True / False) The benefit of the CIR model over the Vasicek model is that the interest rates in the CIR model are mean-reverting.

Solution. This statement in false. Both Vasicek and CIR models have mean-reverting interest rates. The benefit of the CIR lies in the fact that it does not generate negative

interest rates.

Multiple Choice (6pts).   Answer the following multiple choice questions.  Explain your choice in 1-2 sentences. You will receive 50% points for the correct answer and 50% points for the correct explanation.

1.  2pts Suppose you decide to hedge a long position in a 2 year treasury note with a short position in a 10 year treasury bond. The resulting portfolio has a

(a) positive slope duration

(b) zero slope duration

(c) negative slope duration

Explain why.

Solution. The correct answer is (c).  When the slope of the yield curve goes up, the 10y rate increases and the 2y rate decreases.  These movements in the interest rates increase the value of the long side of the portfolio and decrease the value of the short side of the portfolio.  Hence, the overall value of the portfolio goes up.  Higher value associated with a higher slope implies a negative slope duration.

2.  2pts A putable bond gives investors a right to demand immediate payment of the face value of the bond (instead of later payment with coupons). As a result a putable bond has a price that is

(a) higher

(b) equal

(c) lower

than the price of a similar non-putable bond. Explain why.

Solution. The correct answer is (a).  This option is valuable to the investors, so they

are willing to pay a higher price for it.

3.  2pts Suppose you own an Agency Pass Through MBS and would like to duration hedge your position by buying swaps.  The overall convexity of your duration hedged position (MBS plus newly bought swaps) is

(a) positive

(b) zero

(c) negative

Explain why.

Solution. The correct answer is (c). MBS has negative convexity. Recall that a swap is a FRN minus a fixed coupon paying bond, so it has negative “dollar convexity” . As a result adding swaps to your portfolio further decreases its convexity (i.e., makes the

convexity even more negative).

4.  2pts Due to the onset of the COVID recession the mortgage prepayments in 2020 were

(a) higher

(b) roughly the same

(c) lower

than mortgage prepayments in 2019. Explain why.

Solution. The correct answer is (a). Interest rates fell sharply in 2020, which triggered

a huge wave of

refinancing.

5.  2pts Suppose that you have calibrated both HL and BDT models to the yield curve and are trying to price a forward contract on a 5 year treasury note (Note: a forward contract is an obligation to buy a 5y treasury not at a predetermined date in the future at a predetermined price). Which of the two models will assign a higher price to this forward contract?

(a) HL price will be higher

(b) HL and BDT prices will be equal

(c) BDT price will be higher

Explain why.

Solution. The correct answer is (b).  A forward contract, similar to FRA and swaps can be replicated with a portfolio of ZCBs. Hence, both models will price this security perfectly and produce the same answer.

Short Answer (6pts).   Answer the following questions.

1.  2pts Explain why modeling burnout as a function of the remaining principal (or as a function of the lowest mortgage rate since the pool origination) is better than modeling it as a function of time.

Solution. Burnout tries to reflect the fact the homeowners in the pool have different sensitivity or different constraints when it comes to refinancing.  If you only model burnout as a function of time, then you miss the information contained in the observed behavior of borrowers.  For example, when many people refinance in a given month due to low interest rates, the remaining people in the pool are different (by revealed preference), and hence are probably less likely to refinance in the future.                  

2.  2pts What is the sign of convexity of the Pass Through MBS? Explain.

Solution. A Pass Through MBS has negative convexity. This is because the homeown- ers have a prepayment option that has a positive convexity.  The buyers of the MBS have that prepayment option with a minus sign (i.e., they have negative convexity).   

3.  2pts Explain why a duration and convexity hedged portfolio can change in value when interest rates move.

Solution. Duration and convexity only hedge against parallel shifts of the yield curve. Changes in slope or curvature of the yield curve will affect the value of the duration

and

convexity

hedged

portfolio.

4.  2pts Suppose that you are pricing a swaption in 1985 when the 1y treasury rate was about 10%. Which interest rate model would you use (HL/BDT and simple/full) and why?

Solution. Since the interest rates were so already high, the BDT would have predicted unreasonable high rates going forward.  Thus, the HL model would have been used. The full HL model would have been better at pricing the swaption relative to the simple HL model, since it is calibrated to the prices of caps and can use these swap to

build a better

replicating portfolio.

5.  2pts Explain why arbitraging overpricing of callable bonds is more risky than arbi- traging underpricing of callable bonds.

Solution. To arbitrage overpricing of the callable bond you would need to short a bond (sell high) and buy a replicating portfolio.  This poses additional risk, since the bond can be called suboptimally.  Suboptimal exercise of the call option implies that the short part of your portfolio (callable bond) can unexpectedly increase in value. Such sudden change reduces the arbitrage gains and might even generate losses for the arbitrage trade.

To arbitrage underpricing you need to buy the callable bond and any unexpected increase in its value will only improve your arbitrage trade.                                       

Part 2.1 (13 pts)

Suppose that the Treasury yield curve today looks like (recall that Treasury rates are semi-annually compounded)

1.  3pts Suppose you have the following (default-free) portfolio that pays

Construct a replicating portfolio using FRNs and ZCBs.

Solution. First, let’s replicate this portfolio using simple securities

T                           6mo                     1y                         18mo                         2y               Portfolio                    - - -           100 .                 - - -                100 .      

2y FRN with f.v. 100      100           100                100           100  + 100

1.5y FRN with f.v. -100   -100        -100        -100  - 100              -

1y FRN with f.v. 100      100      100  + 100                -                           -

2y ZCB with f.v. -100             -                      -                            -                         -100

1.5y ZCB with f.v. 100            -                      -                           100                          -

1y ZCB with f.v. -100             -                    -100                         -                           -

0.5 ZCB with f.v. -1             -1                      -                            -                           -

2.  3pts What is the price of this portfolio and its duration?

Solution. The price of the portfolio is

100 - 100 + 100 - 100 . 0.942 + 100 . 0.963 - 100 . 0.977 - 1 . 0.990 = 3.41

And the duration of this portfolio is

D =                                                                                                                        = -27.02

3.  3pts Suppose that you want to duration hedge your portfolio (from question 1) using a 2 year swap (with semi-annual payments). What is the current 2 year swap rate?

Solution. The 2 year swap rate is given by

c = 2 .                                                                  = 2.9958%

4. 4pts What is the notional of the 2 year swap that you need to buy/sell to duration hedge your portfolio (from question 1)?

Solution. A swap is a FRN minus a fixed coupon bond. The price of the FRN is par (1 for 1 face value) and the duration is 0.5. The price of the 3% fixed coupon paying bond is also par.

And duration is

Dfixed  =． (B(0, 0.5) . 0.5 + B(0, 1) . 1 + B(0, 1.5) . 1.5 + B(0, 2) . 2) + 1 . B(0, 2) . 2] = 1.9559

So the duration of the portfolio with X notional of swap is

D =  ╱ - 27.02 . 3.41 + X . 0.5 - X . 1.9559、= 0

This gives X = -63.29. So you need to sell 63.29 notional of the swap.

Part 2.2 (6 pts)

On May 25th, 2018 the Treasury yield curve was (recall that Treasury rates are semi- annually compounded)

Suppose you have built a naive binomial tree with semi-annual rates such that

r1,u  = 3.47%              r1,d  = 1.47%,

probability of the up node p = 60%, and ∆ = 0.5.

1.  3pts What is the price of risk (λ0 ) on this tree?

Solution.

P1,u(2) = 100 .  = 98.2946       P1,d(2) = 100 .  = 99.2704

And the price of the 1y zcb today is

P0 (2) = 100 .  = 97.768

Hence the price of risk is

 . (0.6 . 98.2946 + 0.4 . 99.2704) - 97.768

98.2946 - 99.2704

2.  3pts Consider an option that pays you max(2.5% - r1 , 0) at i = 2, where r1  is the period i =  1 semi-annually compounded 6mo spot rate.   What is the price of this option?

Solution. The option payoff is (per 1 unit of notional)

V1,u  = 0       V1,d  = 0.0103

Hence the price is

V0  =  . (0.6 . V1,u + 0.4 . V1,d) - λ0 (V1,u - V1,d) = 0.0050701

Part 2.3 (18 pts)

On December 29, 2017 the Treasury semi-annually compounded yield curve was

The continuously compounded risk-neutral tree of the calibrated Ho-Lee model is

r0  = 1.519%

r2,uu  = 4.377%

r1,u  = 3.294%

r2,ud  = r2,du  = 1.930%

r1,d  = 0.847%

r2,dd  = -0.517%

with risk-neutral probabilities moving up and down being 50% and the time interval between the period to be 6 months, i.e. ∆ = 0.5.

The current market price of a 1.5-year 1.5% coupon Treasury note is 99.4977.  And the ex-coupon (i.e, right after the coupon is paid) value of the this Treasury note in every node of the binomial tree as follows.

The value of the note in period i = 2 after the 2nd coupon payment has been made:

P2,uu  = e –4.377%．0.5  . (100 + 1.5/2) = 98.5692,

P2,ud  = e – 1.930%．0.5  . (100 + 1.5/2) = 99.7824,

P2,dd  = e0.517%．0.5  . (100 + 1.5/2) = 101.0106.

The value of the note in period i = 1 after the 1st coupon has been paid out

P1,u  = e –3.294%．0.5  . (1.5/2 + 0.5 . P2,uu + 0.5 . P2,ud) = 98.2937, P1,d  = e –0.847%．0.5  . (1.5/2 + 0.5 . P2,du + 0.5 . P2,dd) = 100.7190.

1. 4pts Suppose that a 1.5-year 1.5% coupon putable Treasury note is also present in the market. This note can be put at a 1% discount in period i = 2 after the second coupon payment is made.  That is, after the second coupon is made, investors have the right (but not an obligation) to demand the payment of 99% of the principal immediately instead of waiting for full principal to be paid together with the third coupon in period i = 3.  If investors exercise their put option in i = 2 they will not receive any future coupon payments.

Is it optimal to put the note at i = 2? Provide calculations and explain.

Solution. Since this is the last opportunity to put the note, we only need to check whether the value of the non-putable note is above or below 99.

Put2,uu  = max(99 - P2,uu , 0) = 0.4308

Put2,ud  = max(99 - P2,ud , 0) = 0

Put2,dd  = max(99 - P2,dd , 0) = 0.

So it’s optimal to put the note only in the uu node.

2.  5pts The note can be also put at 1% discount in period i = 1 right after the first coupon payment.  If the note is put in period i = 1 the investors will not receive any future coupon payments.

Is it optimal to put the note in period i = 1? Provide calculations and explain.

Solution. Here we need to compute the payoff from calling the note to the expected value of waiting until i = 2.

Put1,u  = max[99 - P1,u, e –3.294%．0.5  . (0.5 . Put2,uu + 0.5 . Put2,ud)] = 0.7063,

Put1,d  = max[99 - P1,d, e –0.847%．0.5  . (0.5 . Put2,du + 0.5 . Put2,dd)] = 0,

so it’s optimal put the bond in the 1, u (since 99 - P1,u  = Put1,u  ) node and wait in the 1, d node.

3.  5pts Suppose that the note is also putable at 1% discount in period i = 0. If the note is put in period i = 0 the investors will not receive any future coupon payments.

What is the value of the put option in period i = 0? What is the price of the putable note in period i = 0?

Solution. The value of the put option is

Put0  = max[99 - P0 , e – 1.519%．0.5  . (0.5 . Put1,u + 0.5 . Put1,d)] = 0.3568

In period 0 it is optimal to wait since 99 - P0  < Put0 .

The price of the putable note is P0 + Put0  = 99.8481.

4. 4pts Compute the period i = 0 replicating portfolio of the putable note using the non-putable note and a 1y ZCB.

Solution. First we need to get the value of the 1y ZCB in 1,u and 1,d nodes:

ZCB1,u  = 100 . e –r1┐』．0.5  = 98.3664       ZCB1,d  = 100 . e –r1┐d．0 5.  = 99.5773

Next we need to get the value of the putable bond in 1,u and 1,d nodes (ex-coupon):

V1,u  = P1,u + Put1,u  = 99       V1,d  = P1,d + Put1,d  = P1,d  = 100.7190

Suppose we have N1  of the non-putable bonds and N2  of the 1y ZCBs in our portfolio. The value of the portfolio should be equal to the price of the putable bond in the 1,u and 1,d nodes:

．N1  . ╱  + P1,u、+ N2  .

ZCB1,u  =  + V1,u

ZCB1,d  =  + V1,d