1. Kyle’s model with an imperfectly informed investor.  Suppose that in the Kyle (1985) model the informed investor observes a noisy signal s = u + n about the final value u ~ N (u, 口u(2)) of the security, where the noise component n ~ N (0, 口7(2)) has no correlation either with the security’s value u or with the noise traders’ order u (Cov(n, u) = Cov(n, u) = 0).

(a) Assume that competitive market makers post the following price schedule: p(g) =

u+Ag, where g is the net order flow. Find the optimal value of A that they will choose if they conjecture that the informed trader’s strategy is the following function of his noisy signal s: X(s) = β(s - u). How does the market depth 1/A chosen by market makers respond to changes in the variance 口7(2) of the informed investor’s error? What is the intuitive explanation for this result? If we plot the depth 1/A as a function of the aggressiveness β of informed investors (the former on the vertical axis and the latter on the horizontal axis), how do changes in the variance 口7(2)  affect the position and shape of this curve?

(b) In this case, the informed trader too must solve an inference problem in forming his

expectation of the security’s value.  Show that his expectation of u conditional on the signal s is given by

E[uls] = u + 口u(2) 口7(2) (s - u),

and find the value of β as a function of market depth 1/A.  How does the trading aggressiveness β that informed investors choose respond to changes in the variance 口7(2)  of the error term n? What is the intuitive explanation for this result? If we plot β as informed investors’ best response to the depth 1/A chosen by market makers in the same graph described under (a), how do changes in the variance 口7(2)  affect the position and shape of this line?

(c)  Compute the equilibrium values of A and β .  How do they respond to changes in the variance 口7(2)  of the error made by the informed investor?  Graphically, does the equilibrium still correspond to the point of minimum depth as in the baseline version of Kyle’s model?

(d)  Compute the ex-ante expected profit of the informed investor. What is the effect of an increase in 口7(2)  on this profit? What is the intuitive explanation for this result?

2. Noise trading in Kyle’s model.  Consider the Kyle (1985) model, changing only the as- sumption about noise trading: assume that there are two groups (1 and 2) of noise traders, whose orders are respectively u1  ~ N (0, 口u(2)1 ) and u2  ~ N (0, 口u(2)2 ), both uncorrelated with the asset’s future value (i.e., Cov(u, u1 ) = Cov(u, u2 ) = 0). All the other assumptions of the model are unchanged:  (i) market makers are risk neutral and perfectly competitive, (ii) the asset value is u ~ N (u, 口u(2)), (iii) the informed investor’s order is z = β(u - u), and (iv) market makers only observe the total net order g = z + u1  + u2 .  [Hint:  think whether your answers require computing the results of the Kyle model again.]

(a) Derive (i) the price schedule p = u + Ag chosen by competitive market makers, under

the assumption that the informed trader’s order is z = β(u - u); (ii) the optimal informed trader’s order, given the price schedule chosen by market makers; and (iii) the equilibrium values of A and β .