Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAST90029 Differential Topology 2023

Assignment 2

Due: 10am Tuesday May 2

Assignments may be submitted in person, or uploaded to the Canvas website as a single pdf file. (This could be produced using LaTeX or handwritten and scanned.)

Please aim for clear, complete but concise explanations in all questions.

You may use any results proved or stated in lectures, unless otherwise indicated.

Note that the assignment must be written up on your own, and you must clearly cite any sources used, including textbooks, internet pages, and collaboration with other students.

Assumption: Throughout this assignment all manifolds and submanifolds are smooth.

1.   (a)  Show that the solid hyperboloid H  =  n(x, y, z)  ∈ R3   I x2  + y2  - z2   <  1} is a submanifold of R3  with boundary ∂H = n(x, y, z) ∈ R3  I x2 + y2 - z2  = 1}.

(b)  Sketch H and the product D2  × R where D2  = n(x, y) ∈ R2  I x2  + y2  < 1} is the unit disc in R2 . Show that H is diffeomorphic D2  × R.

(c) For which a > 0 is the sphere Sa  = n(x, y, z) ∈ R3   I x2  + y2  + z2  = a} transverse to ∂H? Explain your answer. Illustrate your result by sketching Sa , H and Sa e ∂H for some typical values of a.

2.   (a) Let M be a compact m-dimensional submanifold without boundary in Rm+1, and let p ∈ Rm+1  be a point not contained in M .  Show that for almost all v ∈ Sm  the half-line Hv  = np + tv I t ∈ R, t > 0} intersects M transversely in a finite number of points.

(b) Draw some pictures to illustrate this result for the case where M is a smooth simple closed curve in R2 , giving examples of half-lines Hv  as above with Hv e M finite and Hv e M infinite.

3. Let X be a smooth manifold without boundary, and let n > 1 be an integer.

(a)  Show that every smooth map f : X → Rn  is homotopic to a constant map.

(b)  Show that if f : X → Sn  is a smooth map and dim X < n, then f is homotopic to a constant.  [Hint: First show that there exists a point p ∈ Sn \ f (X).  Now use stereographic projection.]

(c) Let X, Y be compact submanifolds without boundary in Sn  of complementary di- mensions, i.e.  dim X + dim Y = n.  Show, using (b), that if 0 < dim X < n then the mod 2 intersection number I2 (X, Y) = 0.

(d) Use (c) to help show that the 2-dimensional sphere S2  and the 2-dimensional torus T2  are not diffeomorphic.

4.  [GP 2.4.1] Prove that there exists a complex number z such that z7 + cos(IzI2 )(1 + 93z4 ) = 0.

Give an explicit disc in C that contains a solution to this equation.