The Second Quiz is at 11AM on April 28 (during lecture time),  on canvas.   This open book quiz consists of eighteen multiple choice exercises, similar to the exercises below.  Exactly one alternative is correct for each question.  You will have 50 minutes.

1. Working over Z5 , the eigenvalues of the matrix  [3(1)   2(2) ] are

(a)  1 and 2.                            (b)  2 and 3.                             (c) 4 only.

(d)  2 and 4.                             (e)  1 only.

2. Which one of the following is a true statement about the real matrix M =  ] ?

(a)  −2 is an eigenvalue of M with corresponding eigenspace {[t(t) ]  ' t ∈ R}.    (b)  2 is an eigenvalue of M with corresponding eigenspace {[t(t) ]  ' t ∈ R}.       (c) 3 is an eigenvalue of M with corresponding eigenspace {[ −t(t) ]  ' t ∈ R}.    (d)  −2 is an eigenvalue of M with corresponding eigenspace {[  ]  ' t ∈ R}.   (e)  −3 is an eigenvalue of M with corresponding eigenspace {[ − ]  ' t ∈ R}.

3. Which one of the following is a true statement about the matrix M that represents the reflection of R2  in the line given by the equation y − 2x = 0?

(a)  1 is an eigenvalue of M with corresponding eigenvector  [1(2) ].

(b)  1 is an eigenvalue of M with corresponding eigenvector  [2(1) ].

(c)  −1 is an eigenvalue of M with corresponding eigenvector  [1(2) ].

(d)  −1 is an eigenvalue of M with corresponding eigenvector  [2(1) ].

(e)  2 is an eigenvalue of M with corresponding eigenvector  [1(2) ].

4. Let M  =   [4(1)   5(1) ] with entries from Z7 . Then M = PDP − 1  where

(a)  D = [0(2)   4(0) ] and  P = [4(6)   1(1) ]            (b)  D = [0(2)   3(0) ] and  P = [1(1)   4(6) ]

(c)  D = [0(2)   4(0) ] and  P = [4(1)   6(1) ]            (d)  D = [0(2)   3(0) ] and  P = [4(6)   1(1) ]

(e)  D = [0(2)   4(0) ] and  P = [1(1)   4(6) ]

5. Working over R, suppose that M = PDP − 1  where P =  [1(1)   0(1) ] and D   =   [0(2)   3(0) ]. Then, for any positive integer k, we have that Mk  is

(a)   [ −0(3)k     2k3k  ]             (b)    ]                (c)    ]

(d)   [0(2k)   3k(1)  ]                        (e)   [0(2k)   3k(k) ]

6. The characteristic polynomial of the real matrix M =  「(l) −         is

(a)  λ3 − 5λ2 + 6λ .

(d)  λ3 − λ2 − 4λ + 4.

(b)  λ3 − 5λ2 + 8λ − 4.

(e)  λ3 − 5λ2 + 4λ + 4.

(c)  λ3 + 5λ2 + 8λ + 4.

7. Which of the following expressions describes M − 1 where M =  「(l) −         and I is the 3 × 3 identity matrix, working over R?

(a)  (M2 − 5M + 8I)

(d)  − (M2 + 5M + 8I)

(b)  M2 − 5M + 6I

(e)   (M2 − M − 4I)

(c)  − (M2 − 5M + 4I)

8. Find the steady state probability vector of the following 3 × 3 stochastic matrix:

(a)

l  」

「  

(b)

l  」

「  

l 1(0)            」 「       0(3) 

l  」

「  

(d)

l  」

「  

(e)   l   」

「    

9. Which one of the following matrices is not diagonalisable, working over C?

(a)    ]

(d)    ]

(b)    ]

(e)    ]

(c)    ]

10. Which one of the following rules for f : R2  → R2  defines a linear transformation?

(a)  f(x,y) = (x2 ,y2 )

(d)  f(x,y) = (xy,y)

(b)  f(x,y) = (y+x,x−4y)     (c)  f(x,y) = (y + 1,x + y)

(e)  f(x,y) = (2x,3y + 4)

11. Find the matrix corresponding to the linear transformation f : R2  → R3 with the following rule:

f(x,y) = (6x − y,x + 2y,y − x) .

(a)    l     1(6)

「  −1

(d)   [ −1(6)

− 2(1) 」

1

1      1 ]

(b)    l  」

「  1   −1

(e)    ]

(c)    l   」

「     1   −1

12.  Suppose f : R3  → R2  and g : R2  → R4  are linear transformations represented by

respectively. Find the rule for the linear transformation gf : R3  → R4 .

(a)  (gf)(x,y,z)  =  (2x − 3y + 2z , x − y + 8z , −y − 4z , 3x + 2y)           (b)  (gf)(x,y,z)  =  (x + 9y + 2z , −x − y , 3x + 7y + z , 3x − 2y)             (c)  (gf)(x,y,z)  =  (x + y − 3z , 9x + y − 7z , 3x − y + 4z,−3x + y − 4z) (d)  (gf)(x,y,z)  =  (x − y + 3z , 9x − y + 7z , 2x + z , −3x + y − 4z)      (e)  (gf)(x,y,z)  =  (x − y + 3z , 9x − y + 7z , −3x + y − 4z , 2x + z)