Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MTH108:  HOMEWORK 8 – CONTINUOUS POPULATION MODELS

Please attempt sections A and B before the tutorials on Thursdays.

Section A – Warm-up questions

A1.  Find the equilibria, check their stability and draw the phase portrait:

(i)     = -x ,    (i i)     = 4 - 2x ,    (i i i)     = x2 - x ,    (i v)     = x2 - 3x + 2 .

Section B – Main questions

B1. A small colony of yeast cells is grown in an experiment . The initial 20 cells multiply to 90 cells in 30 minutes . Assuming a continuous Malthusian model, calculate the intrinsic growth rate. Many hours later, the population has stabilized at around 500 cells .  Propose a new continuous model for the population .

B2.  Suppose that a population is modelled by the equation dx/dt = x3  - (K + 1)x2 + Kx , for K > 0. For the initial condition x(0) = x0  > 0, describe the behaviour of the solution x(t) as t - o.

B3. The population density of crabs in Yangcheng Lake obeys the equation

 = 4x /1 - 、- 18 .

If x(0) = 20, then how will x(t) behave as t - o?

B4.  Suppose the population density of eels in a lake is modelled by

 = 24x /1 - 、- Ex ,

where E > 0 denotes the fishing effort . Calculate the fishing yield given that the population density has stabilized at 40 . What is the maximum sustainable yield?

B5.  For each equation, find the values of r e R at which there is a change (a bifurcation) in the number or stability of the equilibria:

(i)     = r - x2 ,    (i i)     = rx - x2 ,    (i i i)     = rx - x3 .

Section C – Extra problems

C1.  For what values of r e R does the following equation have exactly 2 stable equilibria:

 = r - x4 - 2x3 + 35x2 .

C2.  Use the substitution u(t) = 1/x(t) to solve the Verhulst equation dx/dt = rx(1 - x/K) .

C3. Consider the model

 = rx2  /1 - 、- Ex ,

with r, K, E > 0 .  What is the maximum value of E for which fishing is sustainable?  Does it give the best yield?