1. This is a question on the solution of linear equations and vector spaces

a.  Consider the system of linear equations

x + y + az = 1  、

x + ay + z = b   ．

x _ y + 3z = 1  ．

where a; b are real numbers.  Giving your reasoning, Önd the values of a and b such that the system has

i. exactly one solution,

ii. more than one solution,

iii. no solutions.

[10 Marks]

b.  Consider the set of 4 vectors in R4 ; v1  = (1; 1; 1; 0); v2  = (1; _1; 0; _1); v3  = (1; 1; 0; 3); v4  = (1; _1; 1; k) : For what value of k does this form a linearly dependent set?

[10 Marks]

2. This is a question on di§erentiation and applications

a. Find the equation of the normal to the tangent line to the graph of 3x2 _ 7y2 + 4xy _ 8x = 0

at the point P (_1; 1) ; giving the equation in the form ay + bx + c = 0: [5 Marks]

b. Express the function

2x2               

f (x) =

in partial fractions. Hence, Önd the value  when x = 1: [6 Marks]

c.  Sketch the graph of

y = x3 + 2x2 _ x _ 2;

showing clearly turning points and intercepts on both axes.  [9 Marks]

3. This question is on di§erential equations

a. Find the general solution of the following second order di§erential equation y\\ + 3y  + 2y\ = 4e字x + 2sin x:

[10 Marks]

b. Find the general solution of the di§erential equation

dy                                                                    1

dx                                                                  2

Hint: You may use the following result in your integration working

sin(A + B) + sin(A _ B)

2

[10 Marks]

4. DeÖne the deÖnite integrals In (x) for n e Zf  by

In (x) 三

1

xn ^1 _ xdx:

d

Use integration by parts to derive the recursion formula

In (x) = aIn-1 (x)     n > 1:

where a should be stated. [16 Marks]

Hence evaluate I4 (x) : [4 Marks]

5. This question is on limits

a. Using the expansion of sin(kx) when x is small, show that

x-(li)m二d  ╱ 、 =  ╱a3 _ 83、

[10 Marks]

Use the fact that if

lim log f (x) _二 l;

x-二a

then

lim el。g f {x3  _二 el

x-二a

lim   (sinx)tan x

x-二T/3

[10 Marks]