The total score of this exam is 60 marks. Attempt all the four questions.

1.  (Total:  15 marks) Conceptual questions:

(a)  (5 marks) Describe two di§erent methods by which you can distinguish the sam-

ple path of a random walk process from that of a stationary process?  Discuss the limitations of the two methods.

(b)  (5 marks) What is a sample autocorrelogram? Explain why it is an important tool

for macroeconomists.

(c)  (5 marks) Describe in words the characterising feature of GARCH model.  Discuss the use of GARCH model in economic and Önancial time series data.

2.  (Total:  10 marks) Determine whether the following time series are stationary and/or invertible, where "t ~ wn(0; 1).

(a) ut = 1 - 0.5ut━1 + "t + 0.5"t━1 .

(b) vt = "t - 2"t━1 .

(c) wt = wt━1 + "t .

(d) xt = 1.2xt━1 + 0.13xt━2 + "t - 1.1"t━1 .     (e) yt = 5 + 0.5yt━2 + "t - 1.1"t━1 + 0.18"t━2 .

Answer this question by copying the following table to your answer booklet and Ölling in each blank with either ìYîor ìN.îNo explanation is needed.

3.  (Total:  15 marks) Carol wants to model daily stock returns using the following time series model:

xt = t + "t ,   "t ~ wn(0;7 ):                                             (1)

(a)  (2 marks) Is {xt}t≥1  covariance stationary? Explain.

(b)  (2 marks) Is {xt}t≥1  strictly stationary? Explain.

Mimi considers an alternative time series model for daily stock returns:

yt = xt - xt━1, where xt  is deÖned in (1).                                  (2)

(c)  (4 marks) Is {yt}t≥1  covariance stationary? Explain.

(d)  (3 marks) Is {yt}t≥1  strictly stationary? Explain.

(e)  (4 marks) Comment on the suitability of Carolís model and Mimiís model for char-

acterising daily stock returns.

4.  (Total:  20 marks) Let {yt} denote the time series of quarterly GDP growth rate. Simon believes that {yt} is generated from the following model:

vt     =   "t + "t━1;    "t ~ iid N(0;7 ):                                      (4)

(a)  (3  marks)  Suppose the Örst moment of yt  is constant over time.   Compute the unconditional mean of yt  in terms of the parameters a and b, and state the condition

under which the unconditional mean is well deÖned.

(b)  (5  marks) Derive the autocorrelation function  (ACF) of vt .   Plot the ACF as a

function of lag order.

(c)  (4 marks) Suppose we are at time T.  Derive the 1- and 2-step ahead forecasts in terms of yT , "T  and the parameters a and b.

(d)  (3 marks) Write down the k-step ahead forecast in terms of yT , "T  and the para- meters a and b.  Discuss how a big negative shock such as COVID-19 may impact the long-run GDP growth.   Split your discussion into two cases according to the parameter value of b.

(e)  To estimate the model parameters a and b, Simon asked his assistant Bob to help out (Figure 2).  Bob decided to run the simple linear regression yt  = a + βyt━1 + ut on a sample data {yt} The OLS estimate of β is  = 0:75.  The residuals t  are

plotted in Figure 1.

i.  (4 marks) Does  tend to overestimate or underestimate b? Explain your answer. [Hint: Ögure out the bias of  in the limit (see p.4 of slide 1c), then use the result in part (b).]

ii.  (1 mark) Suggest to Bob a more accurate estimation method.