Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECMT3150: The Econometrics of Financial Markets

(Semester 1, 2023)

Tutorial 2a

1.  Let nt   :=  at(2)  一 a t(2)  where a t(2)   =  Var(at |Ft — 1 )  =  E(at(2)|Ft — 1 ).   Show that nt   ~  mds, i.e., E(nt |Fs ) = 0 for all t > s.

2.  [RT Ex:3.1] What is the `-step ahead forecast of a t(2)+`  for a GARCH(1,2) model?

3.  [RT Ex:3.3] Suppose that r1 ;:::;rn are observations of a return series that follows the AR(1)- GARCH(1,1) model

rt  = u + o1 rt — 1 + at ;    at  = at 7t ,   a t(2)  = 80 + 81 at(2)— 1 + e1 a t(2)— 1 ;

where 7t  is a standard Gaussian white noise series.   Derive the conditional log-likelihood function of the data.

4.  [R corner] Simulate 30 sample paths of length 500 (after a burn-in period of length 100) from the GARCH(1,1) model with normally distributed errors.  Plot a few sample paths and the conditional variance series. Write down the log-likelihood function of the model.  Carry out maximum likelihood estimation on the simulated time series for each simulation run.  See whether the maximum likelihood estimates are close to the true parameter values.

5.  [RT Ex:  3.11;  Assignment  1 2019s1] The Öle d-gmsp9908 .txt contains the daily simple returns of GM stock and the S&P composite index from 1999 to 2008. It has three columns denoting date, GM return, and S&P return.

(a)  Compute the daily log returns of GM stock.  Is there any evidence of ARCH e§ects in the log returns?  You may use 10 lags of the squared returns and 5% signiÖcance level to perform the test.

(b)  Compute the PACF of the squared log returns (10 lags).

(c)  Specify a GARCH model for the GM log return using a normal distribution for the innovations. Perform model checking and write down the Ötted model.

(d)  Find an adequate GARCH model for the series but using the generalized error distrib- ution for the innovations. Write down the Ötted model.