1. Let Z ~ N(0; 1), a standard normal random variable.

(a) Derive the moment generating function of Z , i.e., MZ (u) := E(euZ ).

(b) What is the moment generating function of X , where X ~ N(u;g2 )? (Hint: Express X in terms of Z and use (a))

2. Let Pt  be the price of an IBM share at time t.  DeÖne the time-t simple return by Rt  =  一 1, and the time-t log-return by rt  = log  .

(a) Express rt  in terms of Rt .

(b)  Suppose rt  ~ iid N(u;g2 ).  What is the distribution of Rt ?  Compute the mean and variance of Rt .

3. In general, independence is stronger than the absence of correlation.  Suppose Z ~ N(0; 1), and let Y = Z2 . Clearly, Y and Z are not independent as they are functionally related (so that the value that Y takes depends on the realized value of Z). Show that Y and Z are uncorrelated.

4. X1 ;X2 ;:::;Xn  are pairwise independent if all pairs of random variables in the list are independent. We want to demonstrate that joint independence is stronger than pairwise independence.

Consider the following random variables:

X1 :=1{the Örst die rolled a 3},

X2 :=1{the second die rolled a 4},

X3 :=1{the sum of the points is 7}.

Here,  1{A} denotes an indicator function which takes the value  1 if event A happens, and 0 otherwise. Assume that the dice rolls are independent.

(a)  Show that X1 ;X2 ;X3  are pairwise independent.

(b)  Show that X1 ;X2 ;X3  are not jointly independent.

5.  Suppose {ut } are independent with ut  ~ N(0;t) for all t 2 1.

(a)  Show that {ut } is an mds.

(b) Is {yt } a white noise? Why or why not?

6.  Suppose {"t } ~ iid(0; 1) (i.e., {"t } is an independent and identically distributed sequence in which each element has mean 0 and variance 1).  DeÖne yt  = "t  一 "t_1"t_2  for all t.

(a)  Show that {yt } is a white noise.

(b)  Show that {yt } is not an mds.

7.  Consider the process {ut }, deÖned by:

ut     =   gt"t ;    "t  ~ iid(0; 1);

g t(2)     =   ! + a"t(2)_1 ;

where !;a > 0.

(a)  Show that {ut } is an mds.

(b)  Show that {ut } is not an iid sequence.

(c) Is {ut } a white noise? Why or why not?

8. The price change of AAPL over two consecutive days follows the joint distribution below:

 up by 1% at t   down by 1% at t

up by 1% at t 一 1                0.3                       0.2

down by 1% at t 一 1           0.2                       0.3

(a) What is the marginal probability distribution of the price change at time t? (b) What is the expected price change at time t?

(c) Does the stock price change independently over two consecutive days? Why?

(d) Write down the conditional probability mass function of the price change today, given the price went up by 1% yesterday.

(e) What is the expected price change today, given the price went up by 1% yesterday?

(f) Verify the law of iterated expectations (Hint: use (b) and (e)).