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Project Summary: This project asks you to design some of the basic components of an autonomous car: the cruise control system and a controller for automatically changing lanes. For the parameters of the vehicle model (masses, lengths, etc), look up or estimate numbers for your car if you own one, or the car of a family member. This assignment draws most directly on knowledge of linearisation, second-order systems and second-order control systems. The approach you should take is that your tutor is your boss at your first job after graduation, and they have asked you to prepare design proposal. Therefore the report should be of a professional standard.

1    Project Description: Cruise Control

Let a vehicle be moving in a straight line with its velocity described by v(t) at time t. We assume an engine controller has been designed, so that the control input u is the force demanded from the engine:

mv˙ + AρcD v2 = u                                                                 (1)

Here ρ is density of air in kg/m3 , CD  is a dimensionless drag coefficient, and A is cross-sectional area of the vehicle in m2  (looking from the front). Reasonable values for cD  for a car are about 0.25 to 0.45 (Wikipedia has an interesting list). For your car, look up, measure, or estimate A and cD . You are asked to complete the following design and testing tasks.

Task 1  (Linearization): Select three pairs of equilibriums (ve, ue). Linearize the system dynamics (1) under the three pairs of equilibriums, respectively. Select initial conditions for v(0), and simulate the three linearized dynamics to obtain three trajectories of v(t). Plot the three trajectories and explain their similarities and differences.

Task 2 (Controller Design): Now fix the equilibrium from any of the three choices in Task 1. Design a controller for the linear model that will precisely achieve any desired speed (reference). Demonstrate the effectiveness of your design by numerical experiments on the linear model.

Task 3 (Validations): The controller designed in Task 2 needs to be tested before real-world validations. There are two challenges: the controller is designed from the linear model, but the true system dynamics in (1) is nonlinear; there may be disturbances. We suppose the vehicle encounters a sudden transition from flat ground to a very steep uphill slope of 8% grade 1. The carry out the following analysis and design for Task 3.

(1)  Establish the corresponding equation of motion of the vehicle by extending the equation (1) to the case with the slope accounted for. Show why and how the new equation of motion is of the form

mv˙ + AρcD v2 = u + d                                                        (2)

where d is a disturbance.

(2)  Substitute your linear controller for reference tracking from Task 2 into the system (2), and obtain the closed-loop dynamics. Simulate the closed-loop dynamics for different reference speeds, based on which draw a conclusion on the performance of your controller in this validation. Discuss how the feedback gains in the controller affect the system response characteristics such as steady-state error.

Suggested Approach: To begin the work of this part, you should be familiar with Sec 4.1 of textbook and the lecture material (Lecture 2) on linearisation. Then Lecture 3 and Prelab in Week 3 will have useful knowledge and practice in terms of controller design and Simulink modeling. The Lab 1 in Week 4 will also be quite relevant, among other course materials.

2    Lateral Control (Lane Changing)

For this section we look at lateral (side-to-side) motion of the vehicle, in particular for automatic lane changes.

A schematic of the vehicle with relevant quantities is shown below. See textbook Chapter 3, Example 3.10 and Chapter 6, Example 6.12 “Vehicle steering” for a more detailed analysis. For this question, you should assume v > 0 is constant, and the control input is 6f, the steering wheel angle.

The motion of the centre of mass (CoM) position (x, y) is described by the following differential equations (you might like to verify this, but it is not part of the assignment). Note the coupling to longitudinal dynamics through v(t).

x˙ = v cos(ψ + β)

y˙ = v sin(ψ + β)

ψ˙ =  sin(β)

In addition, we have the following algebraic equation between δf  and the CoM rotation angle β:

tan(β) =  tan(δf).

For your car, look up the wheelbase lr + lf . For simplicity you may assume that lr  = lf .

We assume the vehicle is mostly moving in the x direction (meaning: the first differential equation can be ignored), and it is the lateral position y that we want to control.

Task 1 (Linearization): Linearise the dynamics about constant speed motion v(t) s v0  > 0 with small angles, i.e. φ s 0, β s 0, δf  s 0. Show that we get

●  a second-order differential equation describing how y(t) depends on δf(t); and thus

●  a transfer function from steering-wheel angle δf  to lateral position y that has the form

As + B

2

Calculate the values of A and B for your car (note that A and B will depend on v0 ).

Task 2 (Controller Design): For the second-order differential equation describing describing how y(t) depends on δf(t), design a controller for δf(t) so that y(t) should be able to change from one position to another. Explain why this means the controller will steer the vehicle for smooth and accurate transition from lane to lane.

Task 3 (Validations): Carry out the following two experiments:

(1)  Simulate and plot the closed-loop system response of the linear model for lane-change ma- noeuvre at a variety of speeds, e.g. 40, 60, 80 km/h. Explain the performance of the controller in terms of achieving its goal in smooth and accurate lane change.

(2)  Test the closed-loop system response when the vehicle is reversing at v0   =  ·8,  · 16 km/h.   In comparison with the responses obtained with v0  being positive, discuss the effect and physical meaning of the system zero (zero of transfer function) when the vehicle is reversing.

Suggested Approach: To begin this part of the work, you should primarily get familiar with content in Lecture 4 and Lecture 5. The Lab 2 scheduled in Week 5 will also be quite relevant.

3    Report Format

You must submit a professional-quality report as a machine-readable pdf (i.e. not scanned images) through Canvas. By professional-quality report, it means your report should be a self-contained, consistent, and coherent article, instead of a collection of equations, numerical plots, and answers to design questions.

Section 3: Lateral Controller (40%): Thorough investigations, clear explanation of the working, and com- plete and correct presentation of the required results.

● Subsection 3.1: Linearization (10%)

● Subsection 3.2: Controller Design (10%)

● Subsection 3.3: Validations (20%)