This group coursework is compulsory and answers must be submitted online via Moodle by 12pm on Wednesday, 22 March 2023. Please submit one set of answers (in a single pdf-file) per group for all five tasks detailed below.  The page limit for each groupís submission is 15 pages (maximum, including figures, tables, payo§matrices, but excl. bibliography and appendix). All group members will receive the same mark for the project. Your individual mark for the project counts for 30% of your overall mark for this module.

1    Background

The US president is elected by electors from all 50 states. With the exception of Maine and Nebraska, all electoral votes from a state go to the most popular candidate in that state. If in the final phase before the election a candidate knows that she is behind in a few states, and leading in others, what would be a good strategy for the remaining time?  Should she concentrate on states where she is behind, or should she simply accept that these are lost and instead concentrate on others?  The decision will depend on several factors, including whether the state can still be turned, and on the number of electors available in the state. E.g. California, with its 55 electors, is more important than Montana with its 3 electors.

We start with the empirical question whether in US elections, it is the case that the presidential candidatesíe§ort devoted to a state is proportional to the number of electoral votes of that state.  The Excel spreadsheet ECON0009_US_Election_Campaign_2004 .xlsx presents data for money spent on advertising and number of visits per state by the two candidates (George W. Bush, Republican, and John Kerry, Democrat) for the last 37 days of their presidential campaigns.  You can see that many states did not receive any visits or money for advertising, as they were considered to be already lost or won.  Only swing states attracted the campaignsíattention. It would be interesting to know which states were considered swing states at the time (Florida was definitely one of them, seeing that its result in the 2000 election was so close that it was not declared until days later). As the pre-election perceptions of the parties are unknown, we use the following proxy for what was and was not a swing state in the 2004 US presidential election: taking a post-election standpoint, we consider as swing state any state in which the absolute value of the popular vote for Bush and Kerry di§ered by at most 5.01%.

Task 1.a.   Open the Excel spreadsheet ECON0009_US_Election_Campaign_2004 .xlsx and depict in a scatter plot diagram the number of visits by the candidates to swing states against the number of electoral votes of these states. Then compute the OLS regression coe¢ cients for each candidateís number of visits as a function of electoral votes, and depict the two regression lines in your previous scatter plot diagram.1   Is the relationship between the two variables (roughly) proportional?

Task 1.b.   Now consider the swing states that received a total number of visits (from both candidates) above the median.  For these states, is it true that the candidate who devoted more e§ort to the state ended up losing it?  If so, what do you think could explain this observation?

Task 1.c.   In a second diagram, depict a scatter plot of the money spent on advertising for each candidate against the number of electoral votes for swing states.  Then compute the OLS regression coe¢ cients for each candidateís advertising spending as a function of electoral votes, and depict the two regression lines in the relevant scatter plot diagram.  Is the relationship between the two variables (roughly) proportional?  And is it true that the candidate who wins a state put less (Önancial) e§ort into it?

2    A game-theoretic model

In the remainder of this project, you are asked to analyze formally a simpliÖed game-theoretic model with only three electoral districts. In the Federal Republic of Utopia there are three electoral districts:  Central Utopia (c), East Utopia (s), and West Utopia (w).  As in the USA, the President of Utopia is elected by electoral votes. The district of Central Utopia (c) has seven electoral votes, district s has eight electoral votes, and district w has 13 electoral votes.  Each district operates a ëWinner-Takes-Allísystem so that all electoral votes from the district go to the most popular candidate in that district.

There are two presidential candidates, Dagobert and Heidi.  In the last phase of their presidential campaigns, they must decide simultaneously how to allocate their remaining resources pD   and pH , respectively.  Resources are measured in non-negative integers, and only integer amounts can be allocated to the districts.  E.g.  if pD  = 3, Dagobert can only allocate 0, 1, 2, or 3 resource units to any given district. More precisely, if he allocates tc(D) and te(D)  units to districts c and s, resp., then he allocates the remaining resources pD _ tc(D) _ te(D) to district w .

Each district will vote for the candidate who put more resources into the district (not just during the last phase), and will abstain in case of a tie. Denote by Ac , Ae , and AW  the di§erence in resources that Dagobert and Heidi have already invested in the three districts prior to the last phase of the election campaign. E.g. if Ae  > 0 we say that Dagobert leads Heidi in district s at the start of the last phase. Similarly, if AW  < 0 we say that Dagobert trails Heidi in district w at the start of the last phase.

The key strategic decision that Dagobert and Heidi have to make simultaneously and independently is how each of them should distribute their remaining resources across the three districts. Each player prefers to win over being in a draw, and prefers a draw to losing the election.   As only one player can be elected President of Utopia, we can model this situation as a zero-sum game where each playerís payo§ is 1 if (s)he wins, 0 if there is a draw, and _1 if (s)he loses.

3    More e§ort into large districts?

Given that our empirical observations suggest the number of electoral votes is a good pre- dictor of the number of campaign visits to US swing states, you are now asked to investigate this pattern in the much smaller country of Utopia. Suppose all three districts of Utopia are ‘swing states’ in the sense that there is a neck-and-neck race between Heidi and Dagobert in each district. Formally: Ac  = Ae  = AW  = 0.

Task 2.a.   Suppose that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH  = pD 三 p = 3. Write down the payo§matrix for this simultaneous-move zero-sum game, where Heidi is the row player and Dagobert is the column player.  You may wish to use Excel to create/record the payo§ matrix. Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 2.b.   Now suppose that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH   = pD 三 p = 4.  Write down the payo§ matrix using Excel.  Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 2.c.   Suppose now that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH   = pD 三 p = 5.  Write down the payo§ matrix using Excel.  Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 2.d.   As the job of Önding a mixed strategy Nash equilibrium (MSNE) in each of the large games in Tasks 2.a-2.c is enormous, you are asked to familiarize yourself with a computational procedure for approximating the MSNE. This procedure, called Öctitious play, was Örst proposed and studied by Brown (1951). It is described in Section 5 below. Once you understand the idea behind Öctitious play (and you have performed Task 4 below), use the Excel spreadsheet ECON0009_Utopia_Election_Brown_2023 .xlsx to Önd the MSNE using Brownís algorithm (it has been implemented for you, so Excel will do almost all the work). In particular, Örst choose the candidatesínumber of available resources (depending on which of the payo§ matrices in Tasks 2.a-2.c you are analyzing), and then copy the relevant payo§ matrix into the spreadsheet-tab titled ëMainí.   Now switch to the spreadsheet-tab titled ëBrowní.   There you will Önd again your payo§ (bi-)matrix and you can choose starting values #i(0)(aj ) (where i,j  e (Heidi, Dagobert}, j i, and aj   is a generic pure action of candidate j) for all actions aj  e Aj  and both candidates i by typing numbers into the bright yellow cells in row 9 and column D. Then run Brownís Öctitious play algorithm for 5000 iterations to obtain the MSNE of each of the games in Tasks 2.a-2.c.

Having found the MSNE of each game, return to the original question of whether in the MSNE more resources are allocated to larger districts. To answer this question, compute for each game the expected resources that each candidate allocates to districts c , s , w, resp. Then compute for each candidate the share of her or his expected resources that are allocated to districts c , s , w, resp. How do the candidatesíresource-shares change as p grows from 3 to 4 to 5? And are the resource allocations (roughly) proportional for both candidates and all three resource-levels p? Interpret your results.

4    Defend your lead or attack where trailing?

Now consider asymmetric variants of the game in which Dagobert trails Heidi by one unit in district w, while Heidi trails Dagobert by one unit in district s .   In district c, both candidates are neck-and-neck.

Task 3.a.   Suppose that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH  = pD 三 p = 3. Write down the payo§matrix for this simultaneous-move zero-sum game, where Heidi is the row player and Dagobert is the column player.  You may wish to use Excel to create/record the payo§ matrix. Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 3.b.   Now suppose that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH   = pD 三 p = 4.  Write down the payo§ matrix using Excel.  Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 3.c.   Suppose now that the remaining resources available to Heidi and Dagobert are pH   = pD 三 p = 5.  Write down the payo§ matrix using Excel.  Does this game have any pure-strategy Nash equilibria?

Task 3.d.   As in Task 2.d, use the implementation of Brownís Öctitious play algorithm in ECON0009_Utopia_Election_Brown_2023 .xlsx to Önd the MSNE of the games in Tasks 3.a-3.c. Compute the candidatesíresource-shares for districts c , s , w, resp., and investigate across the three resource-evels p whether candidates always attack where theyíre trailing, or whether they always defend where they are leading.  Finally, calculate Heidiís expected payo§ in each of the three games as the candidatesíresources rise from 3 to 4 to 5. Interpret your Öndings.

5    Brownís Fictitious Play

Having formulated the idea of an equilibrium in strategic-form games, early game theorists were much concerned with the problem of how equilibria in complicated games should ac- tually be calculated. One such method, proposed by Brown (1951), is called Öctitious play. This method is also of interest as a possible theoretical model of learning in games.  The interest in learning comes from the observation in laboratory experiments that Nash equilib- rium play by experimental subjects might arise as a result of playersílearning and adapting to what they observe in repeated play of a particular game.

The basic idea behind Öctitious play as a learning rule is that players form beliefs about the way their opponents play and behave rationally with respect to these beliefs.  Thatís why Öctitious play is called a ìbelief-basedîlearning rule.  The mechanics of Öctitious play amount to nothing more than waiting and seeing what happens in the long run when the game is played by ërobotsíusing the following ëtrial-and-erroríadjustment process:2

Two players i = 1, 2 play a strategic-form game G at times t = 1, 2, .... To make things simple for the purpose of this illustration, suppose each player has only two available actions (note, though, that everything that follows works if each player has an arbitrary Önite number of actions).  Let player iís action set be Ai  = (a1(i),a2(i)}, and deÖne #i(t)(ak(j)) to be the number of times that player i has observed player jís action ak(j)  over the past t _ 1 rounds of play (where ak(j)  is a generic action from player jís action set Aj  = (a1(j),a2(j)}). DeÖne also starting values #i(0)(ak(j)) for every action ak(j)  e Aj  (these starting values essentially represent player i’s initial belief about how player j will choose her action when the game is played for the Örst time. The starting values are also sometimes referred to as player jís ëÖctitious pastí).3   The function #i(t)  evolves over time as follows:

# (a ) =i(t)k(j)  {#(#)

Each player assumes that her opponent is using a stationary mixed strategy.  So each player iís belief in this model is given by a probability distribution pi(t)  over player jís action set Aj . This belief evolves over time as follows:

pi(t)(a1(j)) = and pi(t)(a2(j)) = 1 _ pi(t)(a1(j)) = .

For every player i = 1, 2, Öctitious play at any time t is any action choice that maximizes player iís expected payo§ with respect to her belief that player jís action a1(j)  is chosen with probability pi(t)(a1(j)) and player jís action a2(j)  is chosen with probability pi(t)(a2(j)).

To see an example of Öctitious play in action, check out the brief section in Osborneís textbook (Section 4.9.2, pp. 136-137 in the 2004 edition of the book, available from UCLís Main Library Collection, shelf-mark ECONOMICS R 14 OSB). There, the process is illus- trated for the ëMatching Penniesígame. As Osborne notes in his book:

ìIn two-player games like Matching Pennies, in which the playersíinterests are di- rectly opposed, and in any two-player game in which each player has two actions, this process converges to a mixed strategy Nash equilibrium from any initial be- liefs.  That is, after a su¢ ciently large number of periods, the frequencies with which each player chooses her actions are close to the frequencies induced by her mixed strategy in the Nash equilibrium.  For other games there are initial beliefs for which the process does not converge.  (The simplest example is too complicated to present compactly.)î

Task 4.   Consider the following two-player strategic form game G:

Task 4.a.   First Önd the MSNE of game G.

Task  4.b.   Let  player  1ís  initial  beliefs  about  player  2ís  action  choices  be  as  follows: #1(0)(a1(2))  =  2 and #1(0)(a2(2))  =  1.   Likewise, player 2ís initial beliefs about player 1ís action choices are:  #2(0)(a1(1)) = 1 and #2(0)(a2(1)) = 2.  Compute successively for each player the beliefs pi(t)(a1(j)) and pi(t)(a2(j)) (i,j = 1, 2, j i), as well as their corresponding best responses, for every time period t = 1, 2, . . . , 5.