Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Research Seminar Actuarial Science and Mathematical Finance, 2023

Module IV (week 5 + 6):  Solvency II

Motivate all your answers extensively, you get points for the methods you use and for your clear explanation of them, not just for the nal answer.

You must use Matlab or R for your calculations.  Hand in your code together with the solutions.

Derivations should not make use of Maple, Mathematica or similar software.

Good luck!

Assessment for this Course

You may give your answers in Dutch or in English.

Grades are individual.  Copying text or computer code from other students means that the final grade is a 4 or lower for you and the other student.

An assignment which is not handed in (or not handed in on time) must be compensated by a different assignment (resit), which may be substantially larger.

Deliverables for the sixth week

Please hand in on or before Monday, March 20 2023, at 23:59 am via Canvas :

1.  A report (format: pdf le) in which you answer all the Assignment Questions stated below and which contains the solutions you are asked to create.

2.  An m- or r-file that you have used for all your calculations.   Your code should be well- organized and easy to read: if an answer in your report is correct but I cannot follow your calculation then you will receive no points for that calculation.

Please mention your name and student number on both items.

Background material

[1]  EIOPA (2014) Technical Specification for the preparatory phase (Part I).

[2]  Boonen, T .J . (2017) Solvency II Solvency Capital Requirement for Life Insurance Companies

Based on Expected Shortfall. European Actuarial Journal 7 (2), 405-434.

Assignment Questions

1.  Question 1.

a.  Note that we interpret random variables as future losses.  See, for instance, the slides or Boonen (2017) for the definition of VaR and ES . Simulate 1,000 times the bivariate Gaussian random variable (X1 , X2 ) ~ N (µ, Σ), with µ = 0 and Σ =   . Provide a histogram of 1,000 different realizations of the VaR99 .5%  of X1 + X2  (so you need 1000 × 1000 simulations). Show the difference with the square-root formula, that is given by

VaR99 .5% (X1 )2 + VaR99 .5% (X2 )2 + 2ρ1 ,2VaR99 .5% (X1 )VaR99 .5% (X2 ),

where the correlation coefficient of (X1 , X2 ) is given by ρ 1 ,2  = 0.25.1   Is the difference between the simulated risk measure and the square-root formula acceptable?  Is there a substantial simulation error?  Hint:  use the package mvtnorm” in R. A simulation error means that the values are sensitive to the simulations inself. Report the differences every time that you perform 1,000 simulations.

b.  Show theoretically that the square-root formula is exact when  (X1 , X2 ) ~ N (µ, Σ), with µ = 0 and a generic Σ =  ρ 1 ,2σ12σ1 σ2     ρ 1 ,2σ2σ21 σ2   . In other words, show that

VaR99 .5% (X1 +X2 ) = VaR99 .5% (X1 )2 + VaR99 .5% (X2 )2 + 2ρ1 ,2VaR99 .5% (X1 )VaR99 .5% (X2 ).

Hint: Use the formulas of Slide 25.

c.  Do the same as you did at a., but now we assume X1 , X2  i . .  Par(1, ):  de scale- parameter is xm  = 1, and the shape-parameter is α =  . So, is there now an acceptable difference between the simulations and the square-root formula with ρ  =  0?   Hint: suppose U is uniformly distributed on the interval [0 , 1], then T =  U(x)1b     has a Pareto- distribution. Direct functions to simulate a Pareto-distributed random variable are also allowed.

d.  Suppose the two risks of an insurer  are Pareto distributed,  i.i.d.   with parameters (xm , α) = (1, ): the situation as in 1c. What can you say about the use of Expected Shortfall with parameter 99% for the total risk?  Show the difference with VaR99 .5% via your simulations, and motivate your answer in a theoretical manner.

f.  Suppose there is  a risk  Z  that is  distributed  as follows:   P (Z  =  10)  =  0.5%  and P (Z = 0) = 99.5%.  Moreover, it holds that X1  = Z + Y1  and X2  = Z + Y2 , with Y1 , Y2 i . . N (0, 1) (a common-shock model). Simulate 1,000 times the variable X1 +X2 , and determine VaR99 .5% .   Is there a substantial simulation error?   Do you have an explanation for this?

g.  State an example of an insurer that has a liability-portfolio with risks that are distri- buted via a common-shock model?

2.  Question 2.

The regulator of pension funds states the capital requirement via the ROF (required own fund): for stock and real-estate risk via the following scenarios:

-  Stocks non-emerging markets and real-estate on exchange:  15%

-  Stocks emerging markets: 30%

-  Stocks not on exchange: 50%

-  Real-estate not on exchange: 40%

The shock is applied on the asset value of the risk-class, which then gives you the required capital.  Thus, if you hold only 1,000 units of Real-estate not on exchange”, the required capital is 400 units.

a.  The shocks are calibrated via the VaR99 .5% . State for stocks that are not on an exchange two combinations of (µ, σ) (the returns are percentages of the asset value of the risk- class) that yield the shock-size with a Gaussian distribution of the returns.

b.  The pairwise correlation between any of the four scenarios is assumed to be equal to ρ = 0.5. The pension fund has invested 100 million in each of the four categories above. What is the capital requirement for stocks and real-estate?

c.  Suppose that the capital requirements of the four categories above are based on a horizon of 1 year. Would you expect that the shocks are more substantial if the shocks are based on 2 years? And 20 years? Motivate your answer.

2.  Question 3.

Derive theoretically ES99% (X) when X is exponentially distributed with expectation λ = 1. Use FX (x) = 1 exp(一x) for x > 0.