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MATH 377

MARCH 2023 MOCK MIDTERM EXAM

Financial and Actuarial Modelling in R

1.

(a) Use the following code to generate a vector of length 5 with entries filled with

integer numbers between 0 and 9:

sample(0:9 ,   5 , replace = T)

(i) Write an R program that returns TRUE if the elements of the vector are in increasing order.                [3 marks]

(ii) Write an R program to compute the average of those entries that are above 2. Note: return 0 if non of the entries is above 2.         [2 marks]

(b)  Consider a vector of student grades with values 70, 80, 55, 67, 90, 92, 83, 74,

100, 87, 49, and a vector with the month of birth of the students with values ”Jan”, ”Nov”, ”Dec”, ”Feb”, ”Feb”, ”Nov”, ”Jun”, ”May”, ”Apr”, ”Jan”, ”Jul” .

(i)  Create a data frame with the above data.                                [2 marks]

(ii) Find the average grade for those students born in February.   [2 marks]

(c) We know that for |x| < 1

log(1 − x) = − .

Use the series representation above, up to a finite number of terms N = 100, to compute log(0.3).                        [3 marks]

2. Let Y be Gamma distributed with shape parameter 2 and scale parameter 1, that is, the density function of Y is given by

fY (y) = y2−1e−y ,    y > 0 .

Now, consider

X = 1/Y .

(a) Write an R function to compute the distribution function of X . [3 marks]

(b)  Simulate a sample of size 2500 from X . [2 marks]

(c) Approximate E[(1/Y2 )] using your simulated sample in (b). [2 marks]

3. Let X be Lognormal distributed with parameters µ  = −2 and σ  = 2. Recall that the density function of a lognormal distribution with parameters µ ∈ R and σ > 0 is given by

f(x) = exp ( − µ)2 ) ,    x > 0 .

(a)  Simulate a sample of size 1000 from X .                                            [2 marks]

(b) With your simulated sample in (a), plot the log-likelihood function for pa-

rameter values µ between -3 and -1, and σ between 1 and 3.           [3 marks]

(c) Using the maximum likelihood estimation method, fit the following distribu- tions to the simulated data set:

(i) Lognormal.               [2 marks]

(ii) Weibull.                               [2 marks]

(d) Which fitted distribution seems to describe the data better?  Justify your answer.           [2 marks]