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Maths in Action B: Fluid Dynamics

Assignment 3

The report should be a single pdf file written in LATEX using the template on Learn. The page limit is 3 pages in the format of the template, including figures, tables, and references.  In addition to the 3 pages, please include all computer codes you used in an appendix (this appendix is not marked). See Learn for details of the marking criteria.

This assignment is motivated by the recent discovery in images gathered by the spacecraft Juno of vortices in regular polygonal patterns at both poles of Jupiter (see Ref. [1] for the original paper and google ‘Jupiter pole vortices’ for more). The vortices form a regular octagon at the North pole and a regular pentagon at the South pole in; both cases they surround a central vortex.

A simple model for this, dating back to Kelvin, is as a set of point vortices whose positions (Xk, Yk) are governed by the equations

X˙ k  = - Kj ,    Y˙k  = Kj ,    r jk(2)  = (Xk - Xj)2 + (Yk - Yj)2,     (1)

where Kk  are the circulations. This assignment considers the dynamics of point vortices with identical circulation Kk   = K > 0 arranged in regular polygons, with and without a central vortex. The following steps provide a guide to what your report can discuss.

1. It is convenient to use a complex formulation, using Zk(t) = Xk(t) + iYk(t) to represent the position of vortex k.  Write down the ODEs satisfied by Zk(t).  You can take these ODEs as a starting point.

2. Show that these ODEs are satisfied by a regular arrangement of the N-vortices rotating with angular velocity a. This solution is described by

Zk(t) = Rei(2m(k -1)/N+at),    k = 1, . . . , N,                                 (2)

where R is the distance of the vortices to the centre. Find an expression for the angular velocity a. (Hint: the formula

N -1             1               N - 1

E 1 - ei2mk/N  =     2

is useful. A proof of this formula, possibly in an Appendix, will gain you a bonus mark.) You can confirm your result numerically using the code in Workshop2Potential .ipynb.

3. Show that (2) remains a solution when a vortex k = 0 of circulation K0  = K is added at the centre of the polygon. Find an expression for the angular frequency a in this case. Again, you can confirm your results numerically.

4. While the rotating polygonal configurations of vortices are exact solutions of (1), not all of them are stable.  Explore the instability numerically, by simulating the evolution of N vortices (say for 6  s N  s 14) taking as initial condition a small perturbation of the regular polynomial configuration, e.g., taking Z1(0) = R + e for some small e (say, e = 0.01). Without loss of generality, you can set R = K = 1. You can set K = 1 or explore different values.

You should be able to detect a change from stability to instability as N increases. To be quantitative, you can use

M(t) = / (lZk (t)l - R)2 \1/2

as a measure of the departure of the solution from the regular polygonal one.  In the unstable case, M(t) grows exponentially in a time interval (which gets larger as e de-

creases): M(t) × eat . The corresponding growth rate a provides a convenient measure of the strength of the instability.

References

[1] A. Adriani et al., Clusters of cyclones encircling Jupiter’s poles. Nature 555, 216–219 (2018)