Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT301 Unit 2

February 16, 2023

Q1

Let n ≥ 2 be arbitrary. Consider the group G = Aut(Zn ).

(a) Find a group we have seen in this course isomorphic to G.

(b) Let F : G → Zn  be the function defined by F(g) = g(1). Explain why F is injective.

(c) Let H ⊆ Zn  be the image of F(G). Explain why H is not a subgroup of Zn . (d) Find an example where H is isomorphic to a subgroup of Zn .

(e) Find an example where Aut(Zn ) is isomorphic to Aut(Zm ) but m  n.

Q2

Let G be a group and H ≤ G.

(a) Suppose g ∈ H . Show that < g >≤ H .

(b) Suppose g ∈ G is an element of order 5, and suppose g \∈ H .  Show that gi  \∈ H for i = 1, 2, 3, 4.

(c) Show that H,gH,g2 H,g3 H,g4 H are all distinct cosets.

(d) Give an example of H ≤ G with an element g ∈ G of order 6, g \∈ H, and 0 ≤ i < j ≤ 5 such that gi H = gj H .

(e) Show that A5  has no subgroup of order 15. You may use the fact that there are 24 elements of A5  of order 5.

Q3

Consider D6  the group of symmetries of a regular hexagon.

(a) Label the vertices of the hexagon with the numbers 0, 1, . . . , 5. Explain why D6  is isomorphic to a subgroup of S6 .

(b) Use Lagrange’s Theorem to find the number of cosets of D6  in S6 .        (c) Consider the subgroup K = StabS6 (2) of S6 . Determine the order of K . (d) Determine the number of elements in the set D6 K .

(e) Explain why D6 K is a subgroup of S6 .