Question 1

Symmetric Equilibrium, Real Wages, and Optimal Fiscal Policy in the Dixit- Stiglitz  Model.   Consider the Dixit-Stiglitz model of monopolistic competition exactly as we laid out in Chapter 22. Wholesale firms are assumed to operate a constant-returns- to-scale (CRS) production technology, which simply means that if all inputs are scaled by the factor k, total output is scaled by the same factor k .   Suppose that the production technology that any given wholesale firm (say, as in Chapter 22, wholesale firm j) operates is simply linear in labor,

yj  = f (nj) = nj

which you should be able to easily verify is CRS (let’s assume everything is static here, hence the lack of time subscripts).

The representative consumer has (static) utility function u(c, 1 _ n), with total time available normalized to one (i.e., n + l = 1). With a real wage of w and, as in Chapter 2, a labor-income tax rate of t, the consumption-leisure optimality condition is of course simply

u2 (c, 1 _ n)

Finally, the resource constraint of the economy is c = n.

a. What is the economy’s marginal rate of transformation (MRT) between consumption and leisure?

b.   If wholesale firm j  (and, indeed, every wholesale firm) hires labor in a perfectly competitive market at the real wage w, how does its real marginal cost of production (mc) relate to w?  (You should be able to make an extremely precise statement here, not simply a qualitative one.)

c.  Consider a symmetric equilibrium, in which every wholesale firm charges the same exact nominal price as every other wholesale firm, and, moreover, the same exact nominal price as the nominal price of retail goods. (We will discuss the idea of symmetric equilibrium in more detail in Chapter 23; here, just take this concept at face value.)  In a symmetric equilibrium, provide an exact analytical expression for the value of the real wage w . (Again, you should be able to make an extremely precise statement here, not simply a qualitative one.)  (Hint: Start with the constant-markup-pricing outcome for wholesale firm j .)

d.  If the labor income tax rate were zero (t = 0), does the private-sector equilibrium achieve economic efficiency?   Explain why or why not.   (Note:  you must draw on your conclusions in parts a, b, and c to analyze this question.)

e. If you concluded “no” in part d, provide an exact analytical expression for the labor income tax rate that would achieve economic efficiency. Explain.

Question 2

Monopolistic Competition and Optimal Fiscal Policy. In the static (i.e., one-period) consumption-leisure model, suppose the representative consumer has utility function over consumption and leisure, u(c, 1 _ n), where, as usual, c denotes consumption and n denotes labor (and so 1 _ n is leisure). The budget constraint the individual faces is c = (1 _ t) . w . n + profit, where t is the labor tax rate, w is the real hourly wage rate, n is the number of hours the individual works, and profit is the profit earnings of the firm (described below) which are “earned” by the representative consumer (because, say, the consumer “owns” the firm). Notice that this budget constraint is expressed in real terms, rather than in nominal terms.

There is a large number of monopolistically-competitive firms, and each firm hires labor to produce its output good according to the production function yi  = ni  (as in class, the index i refers to the i-th firm). Total output of the economy y (note the lack of subscript) is related to the output of the i-th firm by the function

yi = pi(−)θ y(= ci)

where pi  is the real price charged by firm i and θ > 1 governs how substitutable different goods are for each other (this setup is essentially just like we studied in class).

The i-th monopolistic producer’s profit function is given by

(pi _ w)pi(−)θ y

and the goal of the monopolistic producer is to maximize profits by choosing its own price pi .  Prices are not sticky in this economy (since there is no money or nominal variables at all in this economy. . . ).  In equilibrium, prices are all the same, p = 1, but this is only in equilibrium: from the perspective of a single firm, it does choose its own price pi .

Finally, the resource constraint of the economy is c = n.

a.   For the given utility function, state  (in the expression begun for you below) the consumer’s consumption-leisure optimality condition. (NOTE: if you can solve this problem without setting up a Lagrangian, you may do so)

ul

=

uc

b.  If the i-th firm chooses its price pi  to maximize its profits, what is the equilibrium real wage in the economy? Show the important steps in your logic/arguments.  (NOTE: In equilibrium, pi = p = 1, but only in equilibrium).

c. Suppose there is zero government spending and θ = 10. In order to achieve economic efficiency, what (qualitatively) labor tax rate t should the government set: t < 0, t = 0, or t > 0. Your answer here should draw on what you found in parts a and b above. Show the important steps in your logic/argument, and briefly provide an economic interpretation for your result.

Question 3

Sticky Prices, Price Indexation, and Optimal Long-Run Inflation Targets. Con- sider a variation of the Rotemberg model of nominal rigidities.   Suppose that the price adjustment cost that wholesale firm i must pay is given by

 ╱  _ 1、2

with parameters ψ > 0 and χ > 0. If χ = 0, this is exactly the Rotemberg model we have been studying.  However, if χ > 0, then the adjustment cost is mitigated, and it is only price adjustments that are faster (or slower) than some  “normal” rate of inflation π that incur (“customer anger” and other) costs. Formally, think of π (without a time subscript) as the steady state (i.e, long-run) rate of price inflation.

As in our basic Rotemberg framework, the adjustment cost is a firm-wide real cost, independent of how many units of output are sold.   Hence, the period-t nominal profit function for wholesale firm i is

(Pit _ Ptmct)yit _  ╱  _ 1、2 Pt

note the Pt term multiplying the adjustment cost term, which converts the real adjustment cost into aggregate nominal units.

The associated period-t resource constraint (in an equilibrium that is symmetric across all wholesale goods firms) in this economy is

ct +  ╱  _ 1、2 = yt

which shows that price adjustment costs are a real resource use in the economy – they drive a gap between total production y and total absorption (here, just c), hence are a deadweight loss.

The rest of the environment is exactly as presented in class:  each intermediate firm

takes as given its period-t demand schedule, there is a representative final goods firm that

produces final output according to the Dixit-Stiglitz aggregator yt = ┌  01 y/ediit(1) ┐e , with all

the usual notation, etc.

a. Following the setup we developed for the basic Rotemberg framework, construct the dynamic profit-maximization problem of intermediate firm j .

b.  Based on the dynamic profit-maximization problem constructed in part a, compute the firm’s first-order condition with respect to Pjt .

c. Using the FOC you constructed in part b, impose symmetric equilibrium (i.e., Pt  = Pjt , Aj, At) and then develop an expression in which the only possibly time varying objects are inflation, marginal costs of production, output, and the stochastic discount factor. That is, construct the New Keynesian Phillips Curve (NKPC) for this variant of the Rotemberg model.

d.  Consider the deterministic steady state of the expression obtained in part c.  Solve for the long-run level of mc.

e.   If χ  =  1, which corresponds to the case of full indexation of prices to the long- run inflation rate, how does marginal cost of production compare with the implications of optimal price-setting in the baseline flexible-price Dixit-Stiglitz framework?