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MAT 137Y: Calculus with proofs

Assignment 6

Due on Sunday, Feb 19 by 11:59pm via GradeScope

1.   (a) Find the area of the bounded region below y = sin x and y = cos x but above the x-axis on [0, π/2].

(b) Find the volume of the solid by rotating the above region about x-axis.

(c) Find the volume of the solid by rotating the above region about y-axis.

(d) Find the volume of the solid by rotating the above region about y = 2. Please set up the integral(s) only. You don’t need to evaluate the integral(s).

(e) Find the volume of the solid by rotating the above region about y  =  -2.   Please set up the integral(s) only. You don’t need to evaluate the integral(s).

(f) Find the volume of the solid by rotating the above region about x = 2. Please set up the integral(s) only. You don’t need to evaluate the integral(s).

(g) Find the volume of the solid by rotating the above region about x  =  -2.   Please set up the integral(s) only. You don’t need to evaluate the integral(s).

2. In this problem, we will prove the Fundamental Theorem of Calculus part 2 by using the definition of the integral.

Theorem 1. Let a, b e R .  If f is differentiable on [a, b] and f\  is integrable on [a, b], then

Hint: you may need to use the MVT theorem in your proof.

3.  Prove the following theorem:

Theorem 2. Assume a > 0 .  Let f be continuous on [0, a] .

Suppose for any 0 < x < 2, we have 0) f (t)dt = xf (x) .

Then there exists c e R such that f (x) = cx on [0, a] .

Hint: Let h(x) =    x   . What is the derivative of h(x) if f is differentiable on (0, a)?

f (x)

4. Let f be a continuous function on [-π, π] and let m e N be non-zero.  Think of f as a complicated wave. Our goal is to approximate it by simpler waves of sine. Let c e R. We want to approximate f (北) by c sin(m北). To choose c optimally, we must quantify the error in this approximation. The quantity

|f (x) - c sin(m北)|

represents the error between the functions at a single point 北 e [-π, π].

Consider

Here, (f (北) - c sin(m北))2  is the square error.  The integral represents the average value of the square error on [-π, π].

(a) For c e R, define Fm(c) to be the above integral.  Use Fm  to find the optimally chosen constant c = cm  e R. Give an integral formula for cm .

Hint:  Expand the square and write Fm(c) as a quadratic in c. In this question, we treat m as a

fixed positive integer. Also what is        sin2 (m北) d北?

-│

(b) Let’s test your expression for cm . Calculate cm  for the function f (x) = x.

(c) Now, let’s try to improve our approximation by comparing f (x) = x to a sum of sine waves. Let N  e N be non-zero and c1 , c2 , . . . , cN   e R be the fixed optimally chosen constants from (4b). Consider

By expanding the square, find I3 .

(e)  Show that for every non-zero integer N e N that

Remark:  Euler spectacularly proved that

You come close to proving this here but a fair bit more is needed to finish it.