Question 1 (15 marks)

In this question you must state if you use limit laws, standard limits, continuity, l’Hˆopital’s rule, the sandwich theorem or any tests for convergence of series.

Find the following limits, or explain why they do not exist:

(sinh x) sin4 x

北→0              x5             .

(b)

(_1)n2 n2 

n→, n3 _ n + 2 .

Question 2 (10 marks)

In this question you must state if you use limit laws, standard limits, continuity, l’Hˆopital’s rule, the sandwich theorem or any tests for convergence of series.

Determine whether the following series converge or diverge. Justify your answer.

,          2

(a)

(b)

,   4^n2 _1

4n      .

n=1

Question 3 (10 marks)

Consider the function defined by the rule f (x) = arccoshx over its natural domain.

(a) What is the domain of f? You do NOT need to justify your answer.

What is the range of f? You do NOT need to justify your answer.

What is the inverse function of f? You do NOT need to justify your answer.

(d)

Prove that f (x) = log ╱x +^x2 _ 1、for all x in the domain of f .

Question 4 (10 marks)

d17  

Question 5 (14 marks)

Evaluate the following integrals:

(a)

x4 + 2x3 + x2

x2 + x + 1

(b)

 dx.

Question 6 (14 marks)

(a)

Find the general solution of the ODE:

dy       y

dx     x

Find the solution of the ODE:

dy       x2 + 2y2

=

dx          xy

subject to y(1) = _2.  (Hint: make the substitution u = )

Question 7 (8 marks)

A fish farm stocks its lake with 350 fish prior to commencing operations. The farm management company observes that the number of fish p at any time t days after commencement of operations satisfies the differential equation

dp

(a)

Draw a phase plot,       versus p. Label any intercept with the p-axis.

(c)  Sketch p versus t for the given initial condition. Label any intercept with the p-axis, any asymptote, and the population at any inflection point.

Question 8 (8 marks)

Suppose that H is a function of r satisfying

H\\ (r) _ aH\ (r) = 0,    H\ (0) =     and   H(0) =  ╱ 1 + ew、,

where a, p, Y are non-zero constants and N, w are constants.

Find the expression of Hap2 Y as a function of r .

Question 9 (16 marks)

An object of mass 1 (kg) stretches a spring and is set in motion from a certain position.  The damping constant of the spring is  2  (N . s/m),  and the spring constant in Hooke’s law is 5 (N/m).  During the motion there is an external force f (t) (N) acting on the mass such that f (t) = A cos(ω(t _ φ)).  Then the displacement y = y(t) of the object from the equilibrium position satisfies

y\\ + 2y\ + 5y = A cos(ω(t _ φ)).

(a) Find the general solution of y when A = 1, ω = 1 and φ = 0.

(b) Find the general solution of y when A = 1, ω = 2 and φ = π .

(c) If the damping constant is 0, then for what values of A, ω and φ does resonance occur in the system? Justify your answers.

Question 10 (16 marks)

Let f : R2 → R, f (x, y) = 3x2 _ 2x3 _ 3y2 + 6xy .

Find the gradient of f .

Find the directional derivative of f at (0, 1) in the direction from (0, 1) towards (1, 0).

(c)

(d)

Find the equation of the tangent plane to the surface z = f (x, y) at the point where (x, y) = (0, 1).

Find the second order partial derivatives f北北 , fyy , f北y  and fy北  of f .

(e)

Find all stationary points of f , and classify each point as a local maximum, local mini-

mum or saddle point.

1       2

(f) Evaluate

_2    0