Question 1 (10 marks)

In this question you must state if you use standard limits,  continuity,  l’Hˆopital’s rule,  the sandwich theorem or any tests for convergence of series; you do not need to state if you use any limit laws.

Let f : R → R be given by 

'

f(x) =〈'

(

北  −  北2    ,

kx,

cosec (2(π北)) log x,

x < 0

0 ≤ x ≤ 1

x > 1

where k ∈ R is a constant.

(a)  Find lim f(x), or explain why it does not exist.

北→0

(b) For which value(s) of k is f continuous at x = 1? Show all your working.

Question 2 (14 marks)

In this question you must state if you use standard limits,  continuity,  l’Hˆopital’s rule,  the sandwich theorem or any tests for convergence of series; you do not need to state if you use any limit laws.

Let

4n

n3 + r2n ,

where r ∈ R is a constant.

(a) If r = 2 then does the sequence {an} converge or diverge? Justify your answer.

∞

(b) If r = 2 then does the series 工 an  converge or diverge? Justify your answer.

n=1

(c) If r = 3 then does the sequence {an} converge or diverge? Justify your answer.

∞

(d) If r = 3 then does the series 工 an  converge or diverge? Justify your answer. n=1

(e) For which value(s) of r does the sequence {an} converge?

∞

(f) For which value(s) of r does the series 工 an  converge?

n=1

Question

Evaluate

Question 4 (12 marks)

Evaluate the following integrals:

(a)  \ x5 ^1 − x2 dx

(b)  \  dx

Question 5 (12 marks)

(a) Find the general solution y(x) of

 = x (e北2  − 2y) .

(b)  Make the substitution z = x + y and reduce

dx = (x + y)2 log (x2 + 1) − 1

to the differential equation

dz

Then find the general solution y(x) of equation (1).

Question 6 (10 marks)

Suppose that the population p = p(t) of a new type of coronavirus in a patient’s body satisfies

 =  (1 − ) − h,    (t ≥ 0)                                           (2)

where h ≥ 0 is a constant depending on the drug used in the medical treatment to kill the virus.

(a)  Determine the value(s) of h for which there is exactly one equilibrium solution of equa-

tion (2).

(b) For each value of h that you find in part (a) determine the equilibrium solution and its

stability.

(c)  Determine the value(s) of h for which p(t) strictly decreases with t irrespective of the initial population.

(d)  Given h = 0 and p(0) = 1314, does p(t) have any inflection point for t ≥ 0; if so, find the population when inflection first occurs. Explain why.

(e)  Given h = 0 and p(0) = 520, does p(t) have any inflection point for t ≥ 0; if so, find the

population when inflection first occurs. Explain why.

Question 7 (12 marks)

(a) Find the solution of the differential equation

y\\ + 2y\ + y = 25sin(2北)

subject to the boundary conditions y(0) = −4,  y(π) = π − 4.

(b) Find the general solution of the differential equation

y\\ + y\ − 2y = sinh 北.

Question 8 (6 marks)

Consider the differential equation

− 8m     + 25m2y = 0

where m ∈ R is a constant.

(a)  Determine the value(s) of m for which y = e −4北 sin(3北) is a solution of equation (3).   (b) For each value of m that you find in part (a) find the general solution of equation (3).

(c)  Determine the value(s) of m for which   lim y(北)  =  0 for every solution y  =  y(北) of 北→∞

equation (3).

Question 9 (7 marks)

Let S be a surface in R3  given by z = cosh ^x2 + y2  for (x,y) ∈ R2 .

(a) Find an expression for the level curve of this surface when z = c. For what value(s) of c

does the level curve exist?

(b)  Sketch the cross section of the surface in the yz plane. Label each axis intercept with its

value.

(c)  Sketch the surface S in R3 . Label each axis intercept with its value.

Question 10 (15 marks)

Let f : R2 → R, f(x,y) = 3x2 − 2x3 − 3y2 + 6xy .

(a) Find the gradient of f .

(b) Find the directional derivative of f at (0, 1) in the direction from (0, 1) towards (1, 0).

(c) Find the equation of the tangent plane to the surface z  = f(x,y) at the point where (x,y) = (0, 1).

(d) Find the second order partial derivatives f北北 , fyy , f北y  and fy北  of f .

(e) Find all stationary points of f, and classify each point as a local maximum, local minimum

or saddle point.

(f) Evaluate \−2(1) \0 2 f(x,y)dxdy .