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Math 4556

PRoBLEM SET 2

Autumn 2022

For problems 1 and 2, also find new variables X and R so that the system reduces to the approx-

imate normal form

X˙ = RX − X2 + (higher order terms)

(See Example 3.2.2 on page 53 of the text.)

1. (#3.2.2)

2. (#3.2.4)

3. (#3.2.5)

4. (#3.4.1)

5. (#3.4.2)

6. (#3.4.3)

7. Distinguishing types of bifurcations; analyzing transcritical and pitchfork bifurcations

Each of the following equations has a bifurcation as the parameter r is varied. If the bifurcation type is transcritical or pitchfork, find the value of r at which the bifurcation occurs, classify the bifurcation as transcritical, supercritical pitchfork or subcritical pitchfork,  and sketch the bifurcation diagram of fixed points x* vs. r . If the bifurcation type is not transcritical or pitchfork, just say how you know that it isn’t transcritical or pitchfork (you do not need to analyze those).

a) x˙ = rx −

b) x˙ = rx −

c) x˙ = x + tanh(rx)

d) x˙ = rx +